Некоторые вопросы качественной теории линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами

• Автор: Исаенко, Юрий Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 144 с.

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена некоторым вопросам качественной теории линейных дифференциальных уравнений с непрерывными ограниченными коэффициентами. Одним из центральных вопросов качественной теории линейных дифференциальных уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений связывают с именем О.Перрона. В его статье [55] асимптотические свойства решений линейных однородных уравнений (с конечномерным фазовым пространством) соотносились (если использовать современную терминологию) с определенными свойствами линейных дифференциальных операторов, определяющих данное исследуемое дифференциальное уравнение. Такими свойствами являются обратимость, инъективность, сюрьективность, свойство замкнутости образа, фредгольмовость.
Основные результаты первой главы диссертации посвящены получению условий фредгольмовости линейных дифференциальных операторов с непрерывными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве C(Rn) непрерывных ограниченных векторных функций, определенных на R со значениями в R" и с областью определения C'(Rn) (подпространстве непрерывно дифференцируемых функций с непрерывной ограниченной производной).
Первые результаты по фредгольмовости таких дифференциальных one-

раторов были получены Э.М. Мухамадиевым (см. [36] -[38]). Полученные им условия были сформулированы в терминах размерности подпространства предельных решений соответствующего однородного дифференциального уравнения. Излагаемые в первой главе результаты были опубликованы автором в 1982г. (см. [19]; см. также [20] - [22]). Затем они были повторены в статьях Пальмера в 1988г. (см. [53]) и Гохберга в 1992г. (см. [51]). Современное состояние теории фредгольмовых дифференциальных операторов можно найти в статьях [4], [5], [52].
Во второй главе диссертации изучается структура периодического сомножителя в представлении Флоке-Ляпунова для матрицанта однородной системы второго порядка линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Исследованы случаи, когда ряд Фурье этого сомножи-теля содержит ровно одну и ровно две гармоники. В обоих случаях получены необходимые и достаточные условия на постоянные операторные коэффициенты, гарантирующие обратимость этого сомножителя при всех значениях 1б1?. Основные результаты главы опубликованы в статьях [24]-[25].
В третьей главе исследуются линейные периодические системы второго порядка, матрицант которых имеет требуемый вид, а именно периодический сомножитель в представлении Флоке-Ляпунова содержит ровно одну «армони-ку. Основные результаты главы опубликованы в статьях [24]-[25].
Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации по главам.
В первой главе рассматривается дифференциальное выражение
(Яхї) - х'({) + Л(ґ)х(ї), (хе С1 (Я")), ґє (-со,+со)=Я, (1.1)
где АДДквадратная матрица-функция порядка п с элементами аДОєС").
Дифференциальное выражение (1.1) определяет линейный ограниченный оператор
Ь: С’(Яп) -> С(Яп), а также линейные ограниченные операторы

Я_ С[(Я")-+С_(Яп) и Я+ С(Я")С+(Я"), где Я. и Я+ определяются' выражением (1.1) соответственно при 1є (- оо,О ]=Я. и при 1є [0,+оо)=Я+.
В первом параграфе главы исследуются условия фредгольмовости операторов Ь, Я±, Я.. Доказаны следующие результаты.
Лемма 1.1. Область значении .1т Я+ [Ь_] оператора Я+ [Я.] содержит все финитные функции из С+(Яп) [С.(Яп)].
Теорема 1.1. Если область значений ./т Я. [Я.] оператора Я [Ь_] замкнута, то МЯ+ = С+(Я”) [ЯпЯ_ = С_ (Я ”)].
Теорема 1.2. Для того чтобы оператор Я+ [Я.] был фредгольмов необходимо и достаточно, чтобы бтЯ+ =С+(Яп) JmL_ - С_ (Я11)].
Следствие 1.1. Для того чтобы оператор І+ [Я.] был фредгольмов необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение х'(ф + А(()х(ф = 0 было< экспоненциально дихотомическим на полуоси Я+ [ Я.].
Теорема 1.3. Для того чтобы оператор Я был фредгольмов необходимо

Глава II. Структура периодических матриц-функций в представлении Флоке-Ляпунова для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.
§2.1. Некоторые результаты из теории матриц второго порядка Данный параграф имеет вспомогательную роль. В нем собран подготовительный материал, который используется при доказательстве основных утверждений данной главы.
Обозначим через М - линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка над полем действительных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на числа.
Если АеМ, то через А" всюду будем обозначать матрицу, присоединённую к матрице А, т. е. матрицу, которая получается из матрицы А заменой всех ёё элементов на их алгебраические дополнения и транспонированием полученной матрицы. Легко проверить, что для любых А, ВеМ имеют место следующие соотношения:
[А±В]~ = А~± В
[Я.А]- = X А~,
[А-В]~ = В“- А“,
А-А“ = А” А =(с!сГ А) I,
Бр А=8р А~,