Сингулярные интегро-дифференциальные операторы на многообразии и основные гранично-контактные задачи теории упругости

• Автор: Чкадуа, Отар Одикович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 153 c. : ил

Ванной особенностью развития математической физики второй половины нашего столетия явился синтез многомерных сингулярных интегральных уравнении (см. Михлин[1], Calderon » Zygmund [i] , Гегелиа [2], [з], Seeley [i] и др.) и уравнений с частными производными. Систематическое исследование интегро-дифференци-альных операторов привело к дальнейшей глубокой переработке их теории, на основе которой возникла теория псевдодифференциальных операторов.
В своей современной форме теория псевдодифференциальных операторов была создана в середине шестидесятых годов. Однако полученные с её помощью продвижения столь существенны, что без псевдодифференциальных операторов уже трудно себе представить современную теорию уравнений с частными производными и математическую физику. Особенно важны псевдодифференциальные операторы для изучения эллиптических уравнений. Они естественным образом появляются при исследовании граничных и гранично-контактных задач этих уравнений.
Термин "псевдодифференциальныи оператор" был предложен фридрихсом И Лаксом (см. Fridrichs , Ьах [i] ). В современной форме псевдодифференциальные операторы появились, по существу, в работах Кона, Ниренберга [I] и Хёрмандера [l],[2].
Теории псевдодифференциальных операторов посвящены многочисленные работы: Шубин [1] , Calderon [i] , Taylor jj[] ,

Трев [i], Грушин [1]и др.

Особенно полезными для гранично-контактных задач математической физики оказались сингулярные интегро-дифференциальные (СИЛ) операторы, являющиеся частными случаями псевдодифференциальных операторов.

В работе Аграновича [I*] изучена нётеровость эллиптического СИД оператора на компактном многообразии без края и в пространствах Соболева, символ которого обладает конечными условиями гладкости относительно обеих переменных.
Бош.с в [I] изучил нётеровость эллиптического СИД оператора в Нп , который действует в пространствах Соболева.
В работе Хёрмандера [з] изложен метод, позволяющий сводить граничные задачи (не обязательно эллиптические) к системе псевдо-дифференциальных уравнений, распространенных на границе области (см. также Панич [I]).
СИД операторы естественным образом появляются при исследовании гранично-контактных задач теории упругости методом потенциала.
Гранично-контактные задачи для изотропных однородных упругих сред полностью исследованы методами теории потенциала и многомерных сингулярных интегральных уравнений в монографии Купрадзе, Ге-гелиа, Башелейшвили, Бурчуладзе [I].
Методы теории потенциала и СИД уравнений по сравнению с методом гильбертовых пространств предпочтительны в том смысле, что они не только доказывают существование и единственность решений гранично-контактных задач, но дают простые интегральные конструкции для представления решений.
В диссертационной работе изучены матричные СИД операторы в й" и на компактном многообразии без края действующие в пространствах , где % - пространство Соболева, а О ’ -обобщенное пространство Гёлдера. Для этих операторов построены регуля-ризаторы,которые представляют собой псевдодифференциальные операторы и установлены теоремы вложения. Исследование СИД операторов в указанных пространствах продиктовано необходимостью их применений в задачах теории упругости. Методами потенциала и СИД уравнений

изучаются гранично-контактные задачи статики теории упругости для анизотропной однородной среды. Получены теоремы существования.
Целью диссертационной работы является обоснование метода потенциала для гранично-контактных задач теории упругости и получение теорем существования решении на базе привлечения матричных СИД операторов в Р?" и на компактных многообразиях без края, действующих в пространствах Ж$1С .
Известно, что положительная определенность квадратичных форм удельной энергии деформации обеспечивает выполнение условия накрывания (условия Шапиро-Лопатинского) (см. Лопэтинский [I] , БсЬесМег [I]» тьотрвоп [I] » Гачечиладзе, Маисаиа [л]). Из этих условий вытекает эллиптичность СИД оператора, получаемого при исследовании гранично-контактных задач теории упругости.
Об эллиптичности сингулярных интегральных операторов граничных задач теории упругости для анизотропных сред (см. Капа-надзе [1]).
Метод потенциала можно применить также для исследования граничных задач теории упругости в нерегулярных областях (см. Мазья [х]).
Изложим кратко содержание диссертационной работы.
Диссертационная работа содержит три главы.
В первой главе рассмотрены СИД операторы в Н" .Глава содержит 5 параграфов.
В параграфе I определяются классы символов, имеющих конечные условия гладкости относительно обеих переменных. В этом же параграфе приведены некоторые обозначения и определения, необходимые для дальнейших исследований.
В параграфе 2 доказываются теоремы ограниченности и композиции псевдодифференциальных операторов. Схема исследования этих вопросов, в основном, заимствована из работы Эскина [I].

гладкой поверхностью $
Теорема 1.15. Исли Ке^(0) ; ^ ё 31(£>Ъ1
Э"х- Эёц **
равномерно непрерывны по $ в 0 , тогда в 1 Я) существует и
непрерывна и
Эх^
ЭЧ’Сх,») , ЭЫ)]! “7йГ + ~эйГ с1а+
Эх, э31 ,

+- ЭсК(х,х-^)^(х,^)с1а^ - ^ К&й»ЭС.-^.)^(зь,^)У1(^)с1^)
где Э.К(х,х-м)- значение производной ЭК^Я) при ,
И(^>- орт нормали к поверхности Ь в точке ^ э внешней по от-ношению К 0 , “ элемент площади

в точке %
Доказательство. Пусть хе 0 . Рассмотрим функцию ,
определенную формулой (5.2). Будем очитать число 5 >0 настолько малым, чтобы Ц/Цэс.,^)^: 0. Тогда имеем (см. Гегелиа [2], Купрад-зе, Гегелиа, Башелейшвили, Бурчуладзе [г]):
Щу£~= ] Ксх,х-ап&,^]4-
<ЙШ(зс,Ь) С(х,В)
где С(ос,5) = {^еР?п: 1^1=5}
ибозначим первое слагаемое в правой части последнего равенства через . Так как
о. г е-о, ос- я ;

Л_ КСх,х-у)= К(Ьс,,зс-$)-^- К(х,х-^); Эх; 1 <^1
3&<0= К(х)ос-^)1|^0^+[э. КСос,х-^)-Ф К(ос,х-а)]^)4. ЙЩ(*.8) " 2>Ш(х,§)
Из формулы Гаусса-Остроградского следует равенство