Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения

• Автор: Плотникова, Юлия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 113 с.

1. Краевая задача для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике

1.1. Вспомогательные утверждения ...

1.2. Задача Д2 для уравнений (I) и (II).

1.3. Задача Л2 для уравнения (III)

1.4. Задача Дг для уравнения (IV)

1.5. Задача А2 для уравнения (V) .

2. Краевая задача для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа

2.1. Постановка задачи V. Вспомогательные утверждения

2.2. Единственность решения задачи V

2.3. Задача Хольмгрена

2.4. Существование решения задачи V . , ... ,

3. Краевая задача для уравнения смешанного типа со специальным условием сопряжения
3.1. Постановка задачи Т. Вспомогательные утверждения „
3.2. Единственность решения задачи Т
3.3. Существование решения задачи Т
Список литературы

Теория дифференциальных уравнений с частными производнымц берущая начало с работ Леонарда Эйлера [57], и в настоящее время является одним из важнейших разделов современного математического анализа и находит обширные приложения в различных разделах механики и физики, в частности, в аэро- и гидродинамике, теории упругости и акустики, в без-моментной теории оболочек с кривизной переменного знака, трансзвуковой газодинамике, теории пластичности. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [54], Ф.И. Франкля [59], [58], С.Л. Соболева [51], [52], И.Г. Петровского [39], М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе [26], Л. Берса [5], К.И. Бабенко [3] и других.
Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Впервые внимание на практическую значимость уравнений смешанного
типа обратил С.А. Чаплыгин в 1902 году в работе "О газовых струях".
Дальнейшие теоретические основополагающие результаты были получены Ф. Трикоми [54], который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения
У^ХХ 4~ 'Uyy 0, (1)
и С. Геллерстедтом [61], [62], развившем результаты Ф. Трикоми для уравнения у2т+1ихх + иуу = 0. В 1945 году Ф.И. Франкль [56] впервые показал приложения краевых задач для уравнений смешанного типа в трансзвуковой газовой динамике.
М.А. Лаврентьевым [26] была предложена более простая модель уравнения смешанного типа
иХх Ф sgny ■ Uyy — 0, (2)
для которого технические затруднения, связанные с вычислениями, минимальны по сравнению с аналогичными задачами для уравнения (1).
A.B. Бицадзе [7] был исследован ряд краевых задач для уравнения (2), в том числе и задача Трикоми, при более общих предположениях для кривой а, ограничивающей область в верхней полуплоскости. В дальнейшем существенный вклад в развитие теории смешанных уравнений внесли математики К.И. Бабенко, В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джура-ев, В.И. Жегалов, Г.Д. Каратопраклиев, А.И. Кожанов, Т.Ш. Кальменов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев,
Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Сала-хитдинов, М.М. Смирнов, P.C. Хайруллин, Л.И. Чибрикова, S. Moravetz, М. Protter и др. Отметим, что подробную библиографию работ по уравнениям смешанного типа можно найти в монографиях [7], [48].
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по
краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века был опубликован ряд статей, среди которых следует отметить работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского, В.И. Жегалова, Г.Д. Каратопраклиева,
А.М. Нахушева, М.М. Смирнова.
Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа под названием Д2 поставил В.Ф. Волкодавов. Задача Д2 состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Постановка и решение задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые были опубликованы в работе [1]. Решение задачи Д2 в случае различных параметров уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу приведено в работах В.Ф. Волко-давова, Н.Я. Николаева [16], [38], P.C. Хайруллина [60], В.З. Вагапова [10],
O.K. Быстровой [9], Г.Н. Зайнуллиной [20] и др. Задача Д2 изучалась в ряде работ в случае неограниченных областей и различных условий склейки. Сюда относятся работы Л.А. Лазаренко [27], И.Н. Родионовой [43] и других авторов.
В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, линия изменения типа которых является их характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка из области гиперболичности. Отметим, что первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и
О.Ю. Наумова [15], где исследуется краевая задача для уравнения
0 __ f ихх + иуу, если у > 0,
[ иху, если у < 0.
Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условия сопряжения содержат производные дробного порядка от искомой функции. Такие условия сопряжения позволяют обосновать корректную постановку краевых задач (в том числе Д2) в случае, когда склейка осуществляется на характеристической линии уравнения.
Первая Глава IIосвящена решению краевой задачи для частных случаев уравнения
Lu = иху + а(х, у)их + Ъ{х, у)иу + с(х, у)и = 0 (3)
на множестве G = G_ [J G+, где
G- = {(х, у) — h < х < 0, —х < у < h},

<1У — (т(з) — т(х))'(18. Получим
X X
— ^ J тs)s5~pds = р I ^г(в) — т(а:)^ ss~p~1ds. о о
Во втором и третьем слагаемом равенства (2.2.24) выполним замену т(в) = т(в) — т(х) + т(х). В результате выполненных преобразований будем иметь
"-«-'/К*,

~ТТ1Г—~рх1+&~Р{ ~т(х^ 1р2(^- + 8 — р-,2,2 + 3 — р\х(х — з)^с18—

—- +^_ ^х1+6~рт(х) I 1^2 ^1 4- <5 — р; 2, 2 + 6 — р; Хх(х

+А рх'-РJ (т(з) - гГт)) (х - о)
Хх{х — в)
хР( 1,1 4- р — 52 ть^ ]с1з~Ь

(п 4-1)!
х.Р^1,1 + р — 5) 2 + п;
Аж(х — я) (1з.

(2.2.25)
Вычисления дают Ар
1+5
ж1+<5 рт^ J + 5 — р; 2,2 + 6 — р; Аж(ж — s)^ds

Аж2| У (1 — г)"^
(1 + <5 — р)^
2+,5-р г а у- V* ту--н)п 1 + *-р 1 (2)„(2 4- 5 — р)п гг!

= —Арх2+5 рт(х)

(2)„(1 4- 5 — р + п) (гг 4- 1)!