Некоторые обратные задачи теории рассеяния для оператора Шредингера с потенциалом Като

• Автор: Разборов, Алексей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Содержание
Введение
Глава I. Спектральные свойства оператора Шредингера с
потенциалом Като
§ 1.1 Структура спектра оператора Шредингера
§ 1.2 Свойства обобщенных собственных функций
Глава II. Некоторые методы восстановления потенциала
из класса Като в операторе Шредингера
§ 2.1 Восстановление потенциала с помощью высокочастотной асимптотики функции Грина
§ 2.2 Формулы Р. Ньютона и И. Сайто
§ 2.3 Обратная задача для многомерного волнового
уравнения
Список литературы

В ведение.
Настоящая работа посвящена исследованию некоторых многомерных обратных задач теории рассеяния, связанных с восстановлением потенциала в гамильтониане Н, Н = — А + q(x). Теория рассеяния имеет бесчисленное множество приложений в атомной физике, теории твердого тела, физике высоких энергий, поэтому данная тема является важной и актуальной.
Рассмотрим оператор Шредингера
1v э2
Н = -А + q(x) = - £ —-J + q(x) (0.1)
1=1 OXf
во всем пространстве RN, N > 3 с действительным потенциалом q(x), который принадлежит классу Като КN, т.е. удовлетворяет условию вида
lim sup / |д(ж)||.т — у2~N dx — 0, N > 3, (0-2)
yeRN |*-у|<л
и имеет степенное убывание на бесконечности:
3 R > 0, PL > — : q{x) < С |ж|~м, V х > R. (0.3)

Класс Кн был впервые введен Т. Като в работе [30] и локально может быть описан следующими точными вложениями (см., например, [16]):
Lr,oc(RN) С ККМс С L)CC(RK), V > N/2, (0.4)

к я*,' = {q| чч> € К„ ЧуйС0”(Л")}.
Таким образом, рассматриваемый в работе потенциал может иметь локальные сингулярности только лишь из L]oc(Rn), поэтому

получать самосопряженные расширения оператора Я путем замыкания графика в 1/2(Я) не удается. Однако, в работе [16] показано, что при выполнении условий (0.2), (0.3) квадратичная форма

(?/»/)х2(ДЛГ) определена V / 2 (Я ) и удовлетворяет следую-
щей оценке:
I / 1 {х)2<1(х) йх < £ I IV/(а?)|г(1х + С(е) / |/(щ)|2 Яж, д д д
о 1 о
V / % (Я ), где 0 < е < 1, С(е) > 0, а символом РК2 (Я ) обо-
значено замыкание пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем С™ (Я) по норме пространства Соболева ИзЧЯ)- Это неравенство означает, что # ограничен в смысле квадратичных форм относительно самосопряженной реализации в Я2(ЯЛГ) оператора — Д, которую мы будем обозначать через Я0. Поскольку Я0, как известно, является положительным оператором в Я2(Я), мы можем утверждать, что выполнены все условия теоремы Като, Лакса, Лионса, Мильграма и Нельсона (”КЛМН” теоремы), а значит рассматриваемый гамильтониан Я корректно определен в смысле квадратичных форм в Ь2(Я) и является самосопряженным полуограниченным снизу оператором с областью
о 1 /V
определения я (Я) С ж 2 (Я )
В данной работе будет доказано, что спектр этого оператора состоит из непрерывного спектра (без неотрицательных собственных значений), заполняющего неотрицательную часть действительной прямой, и конечного отрицательного дискретного спектра конечной кратности. В этом случае ограниченные решения и(х,к) однородного уравнения
(Я - к2)и(х, к) = 0, к е Я1, к ф 0 (0.5)

что противоречит ее ортонормированности в метрике (1.15). Таким образом, на неположительной части действительной прямой оператор Я может иметь только конечное число точек дискретного спектра, каждая из которых имеет конечную кратность. Поскольку точка {0} принадлежит предельному спектру Я, она является (см. [8], т. I) либо предельной точкой дискретного спектра, либо собственным значением бесконечной кратности, либо точкой непрерывного спектра. По доказанному, первые две возможности реализоваться не могут, следовательно, точка {0} принадлежит непрерывному спектру. Теорема доказана.