Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений и их применения в задачах бифуркационного анализа

• Автор: Смольянов, Владимир Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 243 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений

1.1. Редукция Каччиополи и ее обобщение

1.2. Метод Ляпунова-Шмидта

Глава 2. Нечетные деформации фредгольмовых уравнений вблизи особой точки типа двумерной сборки
2.1. Дискриминантные множества и ^/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок

• 2.2. Применение к двухточечной краевой задаче

Глава 3. Нахождение периодических решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа

3.2. Фокус со слабым резонансом
3.3. Фокус с резонансом 1:
Глава 4. Бифуркации автоколебаний в ЛС-генераторах
4.1. Математические модели Б.С-генераторов
4.1.1. Описание БС-структуры с распределенными параметрами
4.1.2. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами
4.1.3. Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами..
4.1.4. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных ЛС-структурах
с распределенными параметрами
4.1.5. Модели автогенераторов в случае замены ЫС-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями
4.2. Вычисление параметров автоколебаний в БС-тенераторах
4.2.1. Одноламповый автогенератор с сосредоточенными параметрами
4.2.2. Автогенератор на фильтре верхних частот
с сосредоточенными параметрами
4.2.3. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных БС-структурах
с сосредоточенньми параметрами
4.2.4. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами
4.2.5. Автогенератор на фильтре верхних частот
с распределенными параметрами

4.3. Анализ результатов расчетов
Заключение
Литература
Приложение 1.19г/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок
Приложение 2. Результаты расчетов для КС-генераторов

Введение
Широко известно, что многие нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными допускают запись, при соответствующей операторной трактовке, в виде абстрактного нелинейного уравнения
Е(х) = 0, (0.1)
в котором Е - гладкое фредгольмово нулевого индекса отображение, действующее из банахового пространства Е1 в банахово пространство Е2. Исследование фредгольмова уравнения (0.1) часто можно осуществить переходом (редукцией) к конечномерному уравнению
т=о. (о.2)
Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены А. М. Ляпуновым и Э. Шмидтом (см. [45], [94]). С помощью схем конечномерной редукции (вариантов метода Ляпунова-Шмидта), описанию которых посвящены работы [9], [42], [81], [82], [59], [39], [7], [23], [24], [90], [91], [65], [62], были исследованы многие нелинейные краевые задачи, при этом наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Вместе с тем, в бифуркационном анализе до настоящего времени не использовалась в практических расчетах схема нелокальной редукции, предложенная Р. Каччио-поли для построения теории степени фредгольмовых отображений (см. [87], [88], [7] и библиографию в этих источниках). Как удалось недавно выяснить (см. [75]), данная схема особенно полезна при исследовании бифуркаций в условиях нарушения непрерывных симметрий.
Применение тех или иных схем конечномерной редукции преследует цель эффективного сведения анализа фредгольмова уравнения (0.1) и его возмущений к эквивалентной, но более простой задаче анализа уравнения (0.2) в конечномерном пространстве с условием, что левая часть конечномерного уравнения является полиномиальной. Уравнение (0.1), допускающее такое сведение, называется конечно определенным. При реализации идеи конечной определенности возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информацию об алгебраической структуре полинома 3(2,) и его возмущений. Важную роль при этом играют результаты и методы теории особенностей гладких отображений, позволяющие получать существенные продвижения в решении проблемы многомерного вырождения, основными составляющими которой являются задачи описания структур бифуркационных диаграмм

где qx =*! +Фі, q2 = /z2 +ф2.
Нетрудно показать, что
F2 (и + v,, є) = г2 • (рз + р4 • cos(2 • (7 + у)) + р3 • sin(2 • (7 + |/))),

Рз=Т aij(P)

gi(,) ■ qJ) + - Чг}

P5=Y aij <Є) ьУ=

9i° ■ Я2П +920 -9і(у)
Учитывая, что 6^2 (м + И>£)= ® > систему (3.6) можно записать следующим образом: с1

= ц(є) • Л(є) ■ v2 - 6(G(s) • v2) +
+ р(є)-7-2 -(^з + ^4 ■cos(2-(7+v|/)) + /75 • sin(2■ (7 + у») =0, / = 1,2.
Нетрудно показать, что
V2 = г2 ■ (фз + ф4 • cos(2 • (7 + у)) + Ф5 • sin(2 • (7 + ці))), где фз, ф4, ф5 находятся из систем
р(є) ■ А(г) ■ Фз + |і(є) • Рз = 0,
р(є) • А(е) ■ ф4 + p(g) • р4 =2-ф5, р(є) • Л(є) • ф5 + ц(е) • р5 = -2 • ф4,
откуда
Фз = -До)” 'ft-
Ф4 = -(р(є)2 • Л(є)2 + 4• /) 1 • (р(є)2 • А(є)-Р4+2-р(є)• р5), Ф5 = -(р(є)2 • А(е)2 + 4 ■ /) ' • (р(є)2 • А(є) ■ р5 - 2 - р(є) • Р4 ).
Для определения v3 имеем систему