Построение аналитических интегральных многообразий

• Автор: Садриддинов, Махмади Махмудович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 95 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение

ГЛАВА I. Принцип сведения в теории дифференциальных уравнений

§1.1.0 принципе сведения в теории дифференциальных уравнений

§1.2. Некоторые свойства разрешающего оператора систем

дифференциальных уравнений

§1.3. Построение специального аналитического интегрального

многообразия

ГЛАВА II. Поведение интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности интегральных многообразий .. 34 §2.1. Достаточные условия существования интегральных многообразий.. 34 §2.2 Некоторые свойства интегральных кривых, лежащих на голоморфных интегральных многообразиях 6?}, (лр

§2.3. Свойства оператора 7?{/, Х([),рс)

§2.4. Метод последовательных приближений для построения интегральных многообразий 0, Сг2 решений
§2.5.Сходимость последовательности оператора X, и) (п = ОД, ,)
§2.6. Поведение интегральных кривых системы (2.2.1) в окрестности
интегральных многообразий С7|, Стп
ГЛАВА III. Асимптотическое поведение решений систем разностных
уравнений на интегральных многообразиях
§3.1. Построение вспомогательной системы разностных уравнений
§3.2. Некоторые свойства разрешающего оператора 7?(и, Хк,У0,ц)
§3.3. Построение специального интегрального многообразия решений
§3.4. Некоторые свойства операторов 1,(п,Хп,/и) (г = 0,1,2
§3.5. Асимптотические свойства решений системы (3.3.1), лежащих на
интегральных многообразиях
§3.6. Интегральные многообразия соответствующих решений
§3.7. Построение предельного интегрального многообразия
Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ
В теории дифференциальных уравнений существенную роль играют интегральные многообразия решений, введенные в работах А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, Ю.А. Митропольского, H.H. Боголюбова. Интегральные многообразия, объединяющие множество решений в одно целое, используются при решении вопросов устойчивости решений, при расщеплении решений и понижении порядка в задачах анализа.
В диссертационной работе исследуются свойства интегральных многообразий дифференциальных и разностных уравнений;
найдены оценки радиуса голоморфности, а также разработаны новые способы построения интегральных многообразий для дифференциальных и разностных уравнений;
исследуются поведения интегральных кривых на окрестности интегральных многообразий.

ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описьтвающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину «в целом» без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует качественных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.
Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [84], а также исследованиями А.М. Ляпу нова [56] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории А. Пуанкаре были получены в работах И. Бендиксона [8], Д. Биркгофа [9], Брауэра, Дюлака, Ягеля. Для системы выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах A.A. Андронова и его учеников [3], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [74] и во многих работах зарубежных авторов [106,107]. Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л.И. Мандельштама [59], Н.Д. Папалекси [76], A.A. Андронова [3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.
Важным вопросом качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил А.М. Ляпунов [55, 56]. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t >
По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих

Пусть для вектор-функций Fj (t, X, Y, /и) (j -1,2) выполнены условия Fj(t,0,0,//)s 0 (j = 1,2). (2.2.4)
При ц = 0 система уравнений (2.2.1) распадается на два независимых линейных дифференциальных уравнения в пространствах Вь В2 dX
— = A(t)X, ХеВи (2.2.5) at
— = B(t)Y, Г еВт. (2.2.6) dt
Полагаем, что разрешающий оператор M(t,r) уравнения (2.2.5) удовлетворяет условию
||A/(f, r|1, Я>0, -oo а разрешающий оператор N(t, т) уравнения (2.2.6) удовлетворяет условию
IN(t, г| < Се~Л(*~т - оэ < t < т < +оо. (2.2.8)
При /л- О система уравнений (2.2.1) имеет интегральное многообразие G° решений, определяемое уравнением Х = 0.
На интегральном многообразии Gf все решения системы (2.2.1) при fi = О примыкают к нулевому решению при t -> -со.
Аналогично, при // = 0 система уравнений (1.2.1) имеет интегральное
многообразие Go решений, определяемое уравнением 7 = 0.
На интегральном многообразии G| решений, все решения системы (2.2.1) примыкают к нулевому решению при t —» +со.
Пусть теперь цФ 0. Покажем, что при достаточно малых значениях /и< ju0 < /.I* у системы (2.2.1) существует голоморфное интегральное многообразие Gj решений, равномерно экспоненциально стремящихся к нулевому решению при / —> —со, и голоморфное интегральное многообразие G2 решений, которые равномерно экспоненциально стремятся к нулевому решению