Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями

• Автор: Хачай, Олег Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 171 с.

Содержание
Введение
Список используемых обозначений и сокращений
Глава 1. Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке
1.1. Введение
1.2. Постановка задачи. Схема решения
1.3. Построение внешнего разложения
1.4. Внутреннее разложение
1.5. Промежуточное разложение
1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений
1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения
1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев
Глава 2. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке
2.1. Постановка задачи
2.2. Внутреннее разложение
2.3. Промежуточное разложение
2.4. Внешнее разложение
2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения
2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических.разложений и составного разложения
Глава 3. Согласование степенно-логарифмических асимптотических разложений
3.1. Постановка задачи в целом
3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями
3.3. Процесс согласования асимптотических разложений
3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений
Заключение
Литература
Приложение А. Некоторые вспомогательные утверждения
А.1. Операции со степенно-логарифмическими рядами с неопределенными коэффициентами
А.2. Некоторые свойства степенных и степенно-логарифмических рядов с неопределенными коэффициентами
Приложение Б. Пример применения результатов второй главы
Б.1. Формальный анализ асимптотических разложений
Б.2. Получение явных формул для первых членов внешнего разложения

Введение
Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание; подробное описание методики обезразмеривания содержится, например, в монографии Л. И. Седова [1]). Такие уравнения используются для описания гироскопических систем [2], систем с автоматическим регулированием, в том числе при расчетах управления дорожным движением [3-6], применяются они и в динамике плазмы [7], газа и жидкости [1; 8-19], в термодинамических задачах с обострением [20]. Уравнения с малыми параметрами часто называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохранить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи. Но поскольку на практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля величинами, то даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество важных, необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Это происходит тогда, когда порядки некоторых или всех дифференциальных уравнений предельной системы отличаются (в меньшую сторону) от порядков соответствующих уравнений исходной системы, например, когда малый параметр является коэффициентом при старшей производной в уравнении, в таких случаях предельная система уравнений не оставляет достаточной свободы, чтобы удовлетворить всем начальным или краевым условиям. Также сингулярность может быть привнесена в задачу за счет рассмотрения бесконечной области изменения независимых

Теорема 1.6.1. Существуют решения уравнений (1.3.2)-(1.3.3), которые принадлежат пространству С°°(ОДо] для некоторого £о > 0 и имеют асимптотические разложения (1.6.7) при £ —> 0, такие, что для рядов (1.6.6) и (1.5.5) выполнено условие согласования (1.6.3).
Согласно замечанию 3.3.2 именно экспоненциальная малость на бесконечности функций МьДт?) при I > 0, и отсутствие степеней 1пг) в асимптотиках (1.5.19) обеспечивает исчезновение степеней 1пе из рядов (1.6.6) и приобретение ими формы рядов (1.3.1). И поэтому возникает возможность построить внешнее разложение данной задачи (1.2.1), (1.2.2) независимо от начальных данных и свойств внутреннего и промежуточного разложений.
Легко видеть, что ряд (1.3.1) и асимптотические ряды (1.3.11) для его коэффициентов могут быть записаны в виде ряда (1.6.6) и рядов (1.6.7), соответственно. Можно так же доказать обратное, что ряд (1.6.6) может быть записан в виде «прореженного» ряда (1.3.1), то есть все коэффициенты, стоящие в нем при нецелых степенях е тождественно равны нулю. Действительно, запишем рекуррентную систему уравнений, которая получается для коэффициентов ряда (1.6.6) по аналогии с тем, как это было сделано для ряда (1.3.1): это
уравнение (1.3.2) и система уравнений
= %^и^Ш+т,к £ N (1.6.8)
здесь предполагается, что
0 = г7_(2_1)(^) = ... = С/1й, (1.6.9)
здесь и ниже, до конца этого раздела, будем подразумевать, что тождественные равенства верны при всех £ 6 (0, с?]; функция ?/0(£) — единственное неотрицательное решение уравнения (1.3.2), найденное в лемме 1.3.1, функции •?),(£) имеют вид линейных комбинаций с
постоянными коэффициентами произведений вида:
Я тп с т
9^ ГК«, (1.6.10)

где щ = /с, 7п > 2, все Щ > 1.

Обозначим
М(к) = ^еМ:зе (0,к{2х- 1)),Я(2*-1)} (1.6.11)
Докажем индукцией по к € N следующее соотношение:
Уу е Щк) (ад = О, ад = Т^_(г)), (1.6.12)