Некоторые вопросы, связанные с модификациями уравнения синус-Гордона

• Автор: Данилова, Евгения Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Состояние вопроса
1.1 Актуальность
1.2 Используемая терминология
2 Анализ существования решения задачи Коши для возмущенного уравнения
2.1 Доказательство существования
2.2 Оценка границ
2.3 Выводы по главе
3 Анализ существования решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности
3.1 Анализ существования решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, для невозмущенного уравнения
3.2 Анализ существования решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, для возмущенного уравнения
3.3 Выводы по главе
Заключение

Введение
Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
4х (> *) - % (ж> *) = /(* Оч *)) (!)
является одним из классических уравнений теории нелинейных волн. Обзор задач, приводящих к этому уравнению, можно найти, например, в монографии Р. Додда [1].Это уравнения встречается в теории магнетиков, теории дислокаций, теории джозефсоновских переходов.
Частным случаем уравнения Клейна-Гордона является уравнение синус-Гордона
4х t) - Ht Оч t) = sin (z Оч *)) (2)
Первоначально оно появилось в геометрии. Его молено получить с помощью построений, которые делал Чебышев в работе "О кройке одеж-
ды"(1878 г.). В 1901 г. уравнение (2) использовал Гильберт при доказательстве непогружаемости плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство.
Впоследствии уравнение (2) оказалось важным для математической физики и получило название синус-Гордона (Sine-Gordon).
В ряде современных практических применений (например, нестационарный эффект Джозефсона) в левой части уравнения синус-Гордона появляется слагаемое с первой производной по времени (так называемое возму-
щение):
z"x (X, t) - z"t (.x, i) + (.x, t) = sin (2 (x, t)). (3)
На малом интервале времени этим слагаемым часто пренебрегают [5], что, по мнению практиков, допустимо, в то время как для продолжительных интервалов времени аналогичное пренебрежение, может привести к потере решения специального вида - решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.
Этим термином будем называть решение вида ip(x,t) = g(x-v-t), отличное от константы, у которого д (£) стремятся к константам при £ -* +оо и при £ -* —оо, и у которого д' (£) стремятся к нулю при £ —> +оо и при £ —» — оо.
В статьях Fiore [3] показано, что при таком пренебрежении теряются некоторые решения солитонного типа, которые являются частным случаем решений типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.
Цель работы состоит в исследовании существования решения и значимости вклада от возмущения для уравнения Клейна-Гордона и конкретной модификации синус-Гордона. Основные задачи исследования:
1. Исследовать вопрос существования решения задачи Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона в бесконечной полосе.
2. Оценить пределы отклонений решения задачи Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона от невозмущённого.
3. Изучить некоторые свойства решений специальным образом модифицированного, а затем возмущенного уравнения синус-Гордона.

Рис. 3.2: Фазовые траектории при различных значениях const.
С 24е

1~е 7 (v2 — 1) ’
что дает оценку С, а значит и оценку а:
r r 24с (1 — с)
7 (v2 - 1)
24б (1 — е) /48е (1 — е)
7 (у2 - 1) у 7(v2 - 1) Лемма 3.1.3. Если выполнены, следующие условия
2 2 -(cos(0x)+27cos(302))(l—f2)
( aJ У I Х — О/ — gg X
(b) 0 6i |х|, 0 [021 < |ж|;
(c) |ж| < yj 7(г,2„1), М < g,
(i)О < С <00-