Неклассические начально-краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными и нелинейными граничными условиями

• Автор: Стригун, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Нелокальные задачи для гиперболического уравнения с интегральными граничными условиями
§1. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной и по переменной времени интегральным
условием
1.1. Постановка задачи
1.2. Разрешимость задачи
§2. Начально-краевая задача с нелокальным по пространственной переменной интегральным условием
2.1. Постановка задачи
2.2. Разрешимость задачи
Глава 2. Начально-краевые задачи с нелинейными гранич-
ными условиями для гиперболического уравнения
§3. Начально-краевая задача с нелинейным граничным
условием а(7, £)иж(7, £) + |д(£, £)|%(1, £)
3.1. Постановка задачи
3.2. Разрешимость задачи
§4. Начально-краевая задача с нелинейным граничным
условием а{1, Ь)их(1, £) + А(Ь)ии(1,£) + щ(1, £)|рщ{1,4)
4.1. Постановка задачи

4.2. Разрешимость задачи 4 при А{р)
5.2. Разрешимость задачи 4 при А(£) ф
Заключение
Список литературы

Введение
Уравнения с частными производными начали исследоваться в связи с необходимостью решать задачи математической физики. К настоящему моменту некоторые классы задач хорошо изучены. В соответствии с потребностями естествознания сформировались классические постановки задач для основных типов уравнений. Однако современный уровень развития науки требует исследования различных процессов, которые невозможно моделировать с помощью классических задач, что приводит к необходимости изучения задач с условиями иных типов. Таким образом, возникла необходимость обобщения классических и постановки качественно новых задач. С другой стороны, появившиеся новые задачи оказались интересными с чисто теоретической точки зрения. Кроме того, у теории уравнений с частными производными был большой потенциал, связанный с появлением понятий обобщённой производной и пространств Соболева. Одним из классов качественно новых задач стали задачи с нелокальными условиями, о чём написал А. А. Самарский в обзорной статье " О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений" [48].
Нелокальными называют задачи, в которых граничные условия представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение. Такие задачи активно изучаются в последние годы. Они точнее других описывают физические и биологические процессы, протекающие в областях с границей, недоступ-

Заметим, что со2(х,г]) г)§ у2(х,г)(1г. Тогда

<2М I ((((х,г)) — С(х,і))2 + (1 + г]2)у2)сіхсіі <

2(2(х, г))<іх(1і + I {2(2(х, і) + (1 + г]2)у2)сіх(іі

М.П]С()ЛХ + 2М]{2С) + (1+,)ъ)Ы.
О (Эт,
В итоге имеем неравенство

! у2(х, г])(1х + (ао — 4Мг]) (2(х, г))с1х < о о
2М [(2(2(х, і) + (1 + гі2)у2)<іх(И.

Выберем 7] так, чтобы ао — 4Мг) > (это выполняется, если
ао 1ч р
. В таком цилиндре выполняется неравенство

8 М.
(у2(х, Г}) + (2(х, 7]))сІХ Мі I (2£2(ж, і) + (1 + 7]2)у2)сіХСІІ.
Применяя лемму Гронуолла, получим
(У2(х,Г1) + (2(х,Г]))с1х 0.

т о, а"

. Так же Про-
Из ЭТОГО следует, ЧТО у(х,7]) = 0 ДЛЯ любого 7] Є 0, можно показать, что у{х, т]) = 0 для любого 7] Є должая этот процесс, через конечное число шагов получим, что