Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций

• Автор: Демидов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке
§1. Обратная задача о равновесии плазмы в токамаке
§2. Прямая задача о равновесии плазмы в токамаке
Глава 2. Эстремальиые задачи со свободной границей
§3. Плоские стационарные течения с минимальным, отношением
экстремальных значений давления на свободной границе
§4. Стационарное обтекание по схеме Кирхгофа криволинейного препятствия, частично абсорбируюгцего энергию потока, и оценка максимально возможного КПД турбин в открытом, пот,оке
Глава 3. Задача Стокса—Лейбензона
§5. Возмущение окружности
§6. Квазикоитурная модель. Аттрактирующее многообразие
Глава 4. Высокочастотные асимптотики
§7. Векторные поля, определяющие экспоненциально точные
высокочастотные асимптотика гармонических функций
§8. Задача Олейник Темама об усреднении
§9. Асимптотика в областях с сильно гофрированной границей
Литература

Введение
В диссертации разработан функционалыго-геоыетрическип метод исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных. Этот метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик исходных задач со свободной границей и соответствующих им нелинейных задач Римана-Гильберта с нелинейными функциональными ограничениями. Этот метод позволил найти условия существования или несуществования, единствсн-

установить некоторые качественные свойства решений. В диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке, задача о течениях с минимальным отношением экстремальных значений давления на свободной границе, задача об обтекании криволинейного частично абсорбирующего препятствия, задача Стокса—Лейбензопа для Хпле-Шоу течения. Кроме того, разработанный в диссертации функционально-геометрический метод позволил но-иовому подойти к вопросу о высокочастотных асимптотиках для гармонических функций и получить в сильной метрике экспоненциально точные вплоть до границы области асимптотики.
Актуальность представленной работы обусловлена как трудностью изучения задач со свободной границей, так и разнообразием важных приложений этого круга задач. К их числу относятся проблемы нелинейной динамики свободной поверхности идеальной жидкости [31], включая проблему цунами [91], потенциальные течения однофазных (см . например, §3 и §4 диссертации) и многофазных сред [15, 56, 77, 78], кавитационные и струйные течения [5, 14] (см. также §4 диссертации), задачи фильтрации [38] (см. также §5), экстремальные задачи со свободной границей (см., например, §3 п §4 диссертации) и ряд других задач (см., в частности, обзор [53]).
Одной из таких задач является задача, которая была нами поставлена и решена в связи с вопросом, поднятым Е.П. Велиховым в 1972 году о возможности распада на отдельные компоненты связности плазменного разряда. Простейшая задача, соответствующая этому вопросу, такова.
Заданы число М > 0 и симметричная относительно осей х и у плоская спрямляемая кривая Г, ограничивающая односвязную область б с!2.
Требуется выяснить существует ли расположенные в © “плазменные” области ии>2, представляюи/ще ортогональные сечения шнура плазменного разряда, состоящие, соответственно, из одной и двух односвязиых компонент связности (см. рис. 0.1). спрямляемые границы которьег, 71 и у2 = 212 симметричны относительно осей х и у, причем, эти области и 012 таковы, что выполнено следующее свойство.

В “вакуумных" областях = © (ид и 71) и в И2 = (3 (ид и 72) существуют определенные в где к = 1 или к — 2, гармонические функции и — щ : На,- Ш.удовлетворяющие таким граничным условиями

и = 0.

(0.1)
Здесь I > 0 — заданная константа (равная 4 в случае наличия двух осей
В = гг/2
в = лг(*(и))
Рис. 0.2. Сепаратриса {(ж,у) € По и(х,у) = С*} проходит через начало координат. Она разделяет 'топологически различные типы линий уровня функции и : Ог ~> К. Через обозначена область И2 П Р2
Ч-+-
Функционально-геометрический метод в отношении случая Ъ) этой задачи характеризуется взаимосвязанным изучением следующих двух объектов Ими являются
1) геометрия области 11 = Иг П17+ (см.2 рис. 0.2а:) с заданным углом Лфв) между осью х и внешней нормалью и к Г в точке Р8 & Г П и
2) соответствующая этой геометрии и условию (0.1) нелинейная задача Римана-Гильберта для аналитической функции А + гВ комплексного переменного щ = и + гг>, определенной в прямоугольнике
<2 = {0 < и < М, 0 < V < 1} «=> £ = го(12) (0.2)
п подчиненной таким нелинейным граничным условиям:
В(и, 0) = 0, В(М,и) = (р(ь), В (и, 1) = ф*{и), Ви( 0,г) = 0. (0.3)
1 Нормальная производная ди/ди определена почти всюду» ввиду сделанного предположения о спрямляемости 7.
2Здесь и ниже

Поэтому при v Є (0, 1) ~{u,v)
df,_ л dF(x{u,v),y(u,v)) _ 1 [а - (x - t)% dt

Ф'(і)-
(X -t)2 + у2
T.e.

27Г J
y2 + (a: - £)2

Полагая А (и, v, t) = y2(u, v) + (x(u, v) — t)2 , имеем

(€,v)d£ = -— Ф'(і)1п

X(U2, V, t)
A(«bu,t)

V«i, «2 Є (0, M).
Отсюда, ввиду (2.38),
U2 Qf

< С sup |<Д|
1 (u2,v,t)
111 {uuv,t)

С > 0.
Пусть V — окрестность 'гонки (0,1) Є д( (такая, что V и эирр? = 0 Покажем, что найдется такая константа М (зависящая лишь от V), что

A (u2,v t)
A(ui,v t)
,v) Є Q
<м( 1+ In x(u2,v) — t + In |.д(гіі, v) — £| j , (2.39)
если (u,v) E Q V (мы опускаем здесь индекс у и). В самом дело, в этом случае |ж(и,н)| и у(и, г>)| ограничены константой (зависящей от V). Поэтому, если A(u,v,t) > 1, то \(u,v,t) < const. Если же А < 1, то |A(u, v, i)[ < 2[in х(и, v) —1[, так как 1 > {и, и, t) > (х(и, v) — i)2. В итоге
получаем
|ln A(-u, v,t)| < max(const, 2[In |x(u, v) — i||) ,
откуда следует (2.39).
Таким образом, при («і,и) и (wv) Є Q V (и и є (0,1))
ru-2 о у
< МС sup |<Д|
ra 1 + 111 11 — p + In 11 — q
1-а A/t2 — 1| 112 — a,2
dt. (2.40)
где р = х(и2,у), х(щ,ь) = д. Для оценки интеграла справа заметим, выбрав р Е (0,1/2), что при |з| < Ь

r In 11 — s| rli <Г П fa dt
1-а Jt2 - 1| 1t2 - a2 J -a 11 - s'J/t2 — 1 1t2
где С зависит лишь от о и Ь. Применив лемму 2.1 к последнему интегралу, получаем, что он непрерывен по з, а потому интеграл справа в 2.39 ограничен равномерно по (щ,у) и (иа,у) Е 0У. Для завершения доказательства остается заметить, что / € С°°(У П (5), ибо р = 0 в V П д(Д □