Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста

• Автор: Усова, Анастасия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 180 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Асимптотическое поведение оптимальных решений и функций цены
§1 Односекторная модель экономического роста и постановка
задач оптимального управления
1.1 Построение модели
1.2 Задачи оптимального управления
§2 Необходимые и достаточные условия оптимальности
§3 Качественный анализ гамильтоновых систем
§4 Построение оптимальных решений в задачах оптимального
управления
§5 Функции цены в задачах управления
2 Нелинейные регуляторы в задачах управления на бесконечности
§6 Описание модели экономического роста и постановка задачи
управления
6.1 Построение модели
6.2 Функция полезности
6.3 Задача оптимального управления
§7 Исследование задачи оптимального управления
7.1 Гамильтониан задачи управления в рамках принципа
максимума Л.С. Понтрягина
7.2 Условия существования оптимального решения.
Необходимые условия оптимальности
7.3 Анализ свойств гамильтониана
Содержание

7.4 Свойства максимизированного гамильтониана. Достаточные условия оптимальности
§8 Качественный анализ гамильтоновых систем
8.1 Область нулевого управления
8.2 Гамильтонова динамика в области Б2
8.3 Гамильтонова динамика в области ТДз
8.4 Гамильтонова динамика в области Д21
8.5 Гамильтонова динамика в области переменного управления
8.6 Гамильтонова динамика в области ТДз
8.7 Гамильтонова динамика в области П31
8.8 Гамильтонова динамика в области 0
8.9 Гамильтонова динамика в области насыщенного
управления
8.10 Исследование установившегося состояния
§9 Регулятор гамильтоновой системы
9.1 Свойства нелинейного стабилизатора
9.2 Исключение сопряженных переменных из гамильтоновой системы
9.3 Сохранение стационарной точки
9.4 Стабилизация гамильтоновой динамики в окрестности
стационарной точки
§10 Вычислительные эксперименты
3 Алгоритм построения оптимальных решений в задачах управления с бесконечным горизонтом
§11 Алгоритм построения оптимальных траекторий
§12 Оценка точности алгоритма
§13 Вычислительные эксперименты
§14 Сравнение оптимальных траекторий односекторной и двухсекторной моделей
Список литературы
Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Представленная диссертация посвящена исследованию свойств гамильтоновых систем, возникающих в принципе максимума Л.С. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени. Задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом приобретают все более значимый прикладной характер. Они позволяют исследовать модели экономического роста, составленные для анализа и прогнозирования экономического развития регионов и стран. Особое внимание в диссертации уделено исследованию свойств гамильтонианов и гамильтоновых систем в многомерных задачах оптимального управления. Основные результаты диссертации связаны с изучением качественного поведения гамильтоновых систем для случая, когда они обладают единственной стационарной точкой седлового типа. В этой ситуации удается построить нелинейный регулятор для гамильтоновой динамики, позволяющий стабилизировать гамильтонову систему вблизи положения равновесия. По поведению стабилизированных траекторий можно оценить характер оптимальных решений вблизи стационарного положения, что, в конечном счете, позволяет оптимизировать схемы построения оптимальных стратегий в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке времени. В диссертационной работе приводится алгоритм построения оптимальных траекторий, который учитывает особенности стабилизированных решений и использует эти данные для построения оптимальных стратегий, строится оценка точности работы алгоритма по функционалу качества задачи управления. Указанный алгоритм реализован в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста. Вычислительные эксперименты проведены на реальных эконометрических данных. Важное место в работе
Глава 1. Асимптотическое поведение оптимальных решений и функций цены
Здесь постоянная величина А зависит только от параметров модели и равна следующим значениям:
—Л, а < 8,
а — 8 — А, (1 — а)а < 8 < а, (1-24)
аа — А, 8 < (1 — а)а.
Очевидно, что гамильтонова система (1.23) не имеет стационарных точек при к > 0 п г > 0.
Гамильтонова система для нелинейной задачи оптимального управления записывается в виде:
s°ß = 0, (k,z) Е Dx :
{ Z — UZ ~ fj,

к = —А к,
z — 8z — ß,

к „ ч „ I к = к[ akß~l
zf{k) ’ s°ß = а, (к, z) е D3 :
(k,z) Е D2: { V z) ' (1-25)
z — z(8 + a(l — ß)k~l) — 1,
к = aak13 — Ak,
z — z [8 -- oa( 1 — ß)klj — ß.
Для введенной переменной z условие трансверсальности (1.13) принимает вид
lim e~5tz(t) = 0. (1.26)
t—+00
В зависимости от значения параметра а модели стационарная точка нелинейной задачи Pß оптимального управления лежит либо в области переменного управления D2, либо в области насыщенного управления Из и вычисляется по формуле: