Неклассические операторно-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи

• Автор: Абашеева, Нина Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 108 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения и соглашения
Введение
ГЛАВА 1. Линейные уравнения: положительно определенный
случай
§ 1. Определения и предположения
§ 2. Теория пространства 'V
§ 3. Теоремы существования
§ 4. Теоремы единственности
§ 5. Теоремы о гладкости
§ 6. Параболическое уравнение с меняющимся направлением времени
ГЛАВА 2. Линейные уравнения: вырожденный случай
§ 1. Предположения
§ 2. Теорема существования и единственности (случай Т < оо)
§ 3. Спектральный пучок Ь — А В
§ 4. § 5. Проектор Рисса
§ 6. Существование максимальных семидефинитных инвариантных
подпространств
§ 7. Теорема существования и единственности (случай Т = оо)
§ 8. Примеры
ГЛАВА 3. Квазилинейные уравнения
§ 1. Определения и предположения
§ 2. Теория пространства IV
§ 3. Теоремы существования
§ 4. Примеры
ГЛАВА 4. Эллиптические спектральные задачи с незнакоопределенной весовой функцией
§ 1. Определения и предположения
§ 2. Вспомогательные результаты
§ 3. Необходимые условия базисности по Риссу
§ 4. Контрпримеры
§ 5. Теоремы о плотности
Список литературы

Обозначения и соглашения
Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. В частности, обозначаем через
N - множество натуральных чисел,
Ъ - множество целых чисел,
М - множество действительных чисел,
С - множество комплексных чисел.
Через Ь(Х, У) обозначаем пространство линейных непрерывных операторов, заданных на данном банаховом пространстве X, со значениями в банаховом пространстве У.
Через 0{Ь) обозначаем область определения оператора Ь Всегда, если не оговорено противное, вводим в О(Ь) норму графика. Символом Я(Ь) обозначаем область значений оператора Ь.
Под сг(Ь), р{Ь) понимаем спектр и резольвентное множество оператора Ь-.ХХ.
Через X' обозначаем негативное пространство, построенное по банахову пространству X и гильбертову пространству Е [11].
Через (Х,У)дф и [X, Уо обозначаем пространства, построенные с помощью метода вещественной и комплексной интерполяции соответственно [92] (X, У - комплексные банаховы пространства, непрерывно вложенные в некоторое комплексное топологическое линейное пространство).
Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
Через с, Сі
В пределах каждой данной главы параграфы, теоремы и т.п. нумеруются натуральными числами. При ссылках на формулы, теоремы и т.п. из других глав указываются номера этих глав. Например, теорема (3.1) - это теорема 1 из главы 3.
Основные результаты диссертации называются теоремами. Вспомогательные и второстепенные результаты называются леммами. Частные случаи теорем и лемм, а также выводы из них формулируются как следствия. Дополнительные результаты и комментарии к полученным результатам излагаются в замечаниях.
Знак □ означает конец доказательства.

Введение Постановка задачи
Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (, ) и нормой || || и В, Ь линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение
Вщ = Ьи + ге (о,т), т< оо. (1)
Если оператор В непрерывно обратим, то уравнение (1) сводится к
щ - Аи + д, (2)
где А = В~1Ь. Задача Коши для уравнения (2) полностью решается с помощью теории полугрупп [43, 47]. Если кегВ ф {0}, то в работах [88, 89] развита теория полугрупп с ядрами, обобщающая результаты классической теории полугрупп на случай уравнения (1). Эта теория применима к уравнениям соболевского типа: спектр пучка Ь + ХВ содержится в одной из полуплоскостей вида Яе Л < а, Р1е Л > а. Мы также предполагаем, что оператор В необратим, в частности, он может иметь ненулевое ядро. Но мы не делаем ограничений на спектр оператора В, т.е. он имеет произвольное расположение спектра.
Ранее вопросы разрешимости краевых задач для таких уравнений рассматривались в случае, когда операторы Ь, В самосопряжены в пространстве Е [13, 31, 38, 37, 50, 72]. Оператор Ь мог иметь конечномерное ядро.
Для исследования этих задач применялись вариационные методы, основанные на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям). Моей задачей было обобщить результаты этих работ на случай, когда оператор Ь равномерно диссипативен. Под равномерно диссипативным оператором мы понимаем оператор, удовлетворяющий условию
Ые(—Ьи,и) > 5|Н|2
для всех и £ В ( В). Также нужно было рассмотреть более слабое условие: оператор диссипативен, т.е.
Ке(—Ьи, и) > О
для всех и £ Е>(1/) (такое определение диссипативности используется в [34, 43, 47] в отличие от [9], где вышеприведенное неравенство заменяется

где и = (u(t), иит) G F, v G Ф. Имеем оценку
(ЛпЯ~(ОМО) + h12E+(T)v(T), E+(0)v(0))FoA +(h21E~(0)«(0) + h22E+(T)v(T),E~(T)v{T))Go <
< (\hnE-(0)v(0) + hl2E+(T)v(T)\2Fo+
+\h21E~(0)v(0) + h22E+(T)v(T) ||g0)+
+е(||£:+(0М0)Ё + ||-(ГМГ)||)<
< Pf£{\E-{V)vm2F0 + ll(ï>COII&,)+
+e(||£;+(0)t;(0)||2Fo + \E~(T)v(T)\l) < (1(0)+ \v(T)\b0),

где 5i = max(,e), e > 0. Поскольку pu < 1, то s можно выбрать таким, что <5i < Тогда неравенство (12) в данном случае запишется в виде

Re(v,Av)F>lJ |И0||я, Л + 1(||и(0)|||о + IMTJIÊJ-о
-(ЬнЕ-СОМО) + h22E+(T)v(T),v(T))Go-~(hnE-{0)v{0) + hi2E+(T)v(T),v(0))Fo > 82\v\2f,
где ô2 = min(5, (| — <5i)). Из этого неравенства вытекает, что справедлив соответствующий аналог неравенства (13) и, следовательно, доказательство может быть проведено по той же схеме, что и в теореме 4. Здесь

l(v) = (B(0)u$,v°) - (B(T)uF,vT) + J(f(t),v(t))dt, v = (v(t),v°,vT)

ии(0) = E-{0)u°+{hnE-(0)u°+h12E+(T)uT)+u+ G F0,u(T) = E+(T)uT+ {h21E~{0)v? + h22E+(T)uT) + uT G G0. □
§ 4. Теоремы единственности
Перейдем к условиям, гарантирующим корректность задач (1), (2) и (1), (3).
Теорема 6. Пусть / G 1/2(0, оо; Щ), uf} G Fq, выполнены условия (I),
(II) и справедливо первое из равенств (6). Тогда решение задачи (1), (2), принадлежащее пространству W, единственно и справедлива оценка
IKOlIvr + IK0)|k < c(||/!U2(0,oo;H;) + llu0 IIfo), (16)