Спектральные характеристики одномерного оператора Шредингера с негладкими коэффициентами

• Автор: Лугуева, Ариза Садыковна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 106 с.

Содержание

Введение
ГЛАВА 1. ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ОБОБЩЕННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

0(х,а,£) НА ВСЕЙ ОСИ В СЛУЧАЕ а <0

§1. Постановка задачи и подготовительные леммы

§2. Построение резольвенты оператора Н(є, а), (а < 0)

§3. Природа спектра оператора Н{е,о),{ос <0)

§4. Асимптотика длины лакуны в непрерывном спектре

оператора Н(е,а) в случае є Ф 0, а <0

$5. Разложение произвольных функций из
Ь2 (— оо;+со) по спектру оператора Н{є, а),(а <0)
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОПЕРАТОРА н{е,а) С ОБОБЩЁННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ()(х,є,а) (а>0)
$ 1. Подготовительные леммы
§2. Построение резольвенты оператора Н(є, а) (а > 0)
$3. Построение спектрального семейства Ех
для оператора Н(є, а), (а>0)
§4. Природа спектра оператора Н(є,а).
Равенство Парсеваля-Стеклова (а > 0)
$5. Разложение произвольных функций из Г2(-оо;+оо)
по спектру оператора Н(е,а)
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ОБОБЩЕННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 0(х, р(х), є)
§1. Постановка задачи и построение резольвенты
оператора Н(є), р(х) є Х~

$ 2. Построение функции ті(Х), р(х) є Х~
£ 3. Некоторые подготовительные леммы в случае р(х) є Х~
§4. Природа спектра оператора Н(є), р(х) є X~
§5. Равенство Парсеваля-Стеклова. Разложение
произвольных функций из Ь оо;+оо) по спектру
оператора Н(є),р(х)є Х~
§6. Построение резольвенты оператора Н(є) в случае р(х) є Х+
§ 7. Построение спектрального семейства Е(А)
для оператора Н(є) в случаер(х) є Х+
8. Природа спектра оператора Н(є). Равенство Парсеваля-Стеклова. Разложение произвольных функций из £2(-со;+со ) по спектру оператора Н(є)
в случае р(х) є Х+
§9. Природа спектра оператора Нг(є) в случае р(х)=ах, 1т аО
Литература

Введение
При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.
Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.
Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряженных дифференциальных операторов в последнее десятилетие. Оказалось, что ряд важных случаев изучения -функции (одного из основных объектов, характеризующих поведение квантово-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля
Ау] = -у" + Ч(х)у(х) = Лр(х)у(х), (а<х<Ь), (0.1)
решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию ь
у2(х)р(х)ск = 1 (0.2)

(в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р(х)>0, а функция д(х) - вещественнозначная).
Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления»
У(а) = у(Ъ) = 0. (0.3)
Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [67] и Лиувилля [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия
О <т< р(х)<М (0.4)
было установлено:
1. Существует счетное множество собственных чисел Лп спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой +
2. Все собственные числа вещественны и при п -» +оо

В формуле (1.3.60) положено
C++ С„(<т) (1.3.61)
W'{aj)- lim W’(a) = lfam2 ( (1.3.62)
-Аг(-/Щ
Если же X-OjeS3, то, используя равенство (1.3.62) и утверждения лемм 1.3.2, 1.3.9, получим равенство
V2 (х> &J ) 1 ¥з (f. )f{t)dt + ¥з (x.CTj) ]y/2(t,(Tj)f{t)dt ResRzf =
Ä=ajeS3 W (СГ j )
Преобразуем формулу (1.3.63), используя равенства (1.3.21)-(1.3.23), (1.3.47), (1.3.48), получим:

Res Rxf = Rj m2 (aj )в(х,aj ) JM,(erj Щ,a} )f(t)dt

Mi (°J У)(х’ aM™2 ( Z=a;eSj

(1.3.64)

= Я]М1(р] }п2 (сг] )о(х, ст]) е{{, сгу. )/(*)<*

= * Рз(х><Г]) №з({ С])ЛМ-М1а])
В формуле (1.3.64) мы учли, что в этом случае функция у/3(р,ег М (р.ет а Rj{pj)=Res где
ч №ч'2>¥з}х-о> Яфа
'НигГ- ~ 1 ; (13-65)
№[у2,¥3\х=0, Х = ст].
Следовательно, с учётом формул (1.3.55), (1.3.56), (1.3.51) и (1.3.65) при 1к е А П (52 и з), получим равенства:
. (44/./)= I %тггК< уАх , (1.3.66)
1км2 мл*к)
(44/./) = 2 М2)|(х,,а/(г. (1.3.67)
В формуле (1.3.67) функция 3(х,сгу) определена соотношением