Корректность начально-краевых задач для уравнений гидродинамики многокомпонентных жидкостей

• Автор: Петров, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 129 c. : ил

В в е д е н и е

Глава I. Краевые задачи в теории многоскоростного

пограничного слоя •

§ I. Модель Рахматулина. Существование и единственность сильного решения

1°. Постановка задачи и основные результаты.

2°. Вспомогательные задачи. 3°. Оценки, равномерные по £ .4°. Существование сильного решения основной задачи. 5°. Единственность.
§ 2. Тепловой пограничный слой в многокомпонентном потоке. ( Многоскоростная и многотемпературная
модель.)
1°. Краевые задачи. 2°. Регуляризирующее семейство краевых задач. 3°. Интегральные оценки, равномерные по £ .4°. Существование слабого
решения основной задачи. 5°. Доказательство теоремы 2.2. 6°. Теорема единственности.
Глава II. Начально-краевые задачи одномерного нестационарного течения многокомпонентной
смеси
§ I. Корректность постановки задач для многоскоростной модели баротропных жидкостей
I? Постановка задачи.2°. Априорные оценки.
3°. Оценки сверху и снизу Р1 . 4°. Оценки производных решения и гельдеровские оценки. 5°
однородная краевая задача. 6°. О задаче Коши.
§ 2. Основные краевые задачи взаимопроникающего движения совершенных газов
1°. Постановка смешанных краевых задач. 2°. Первые энергетические оценки. 3°. Оценка сверху и снизу Я . П . 4°. Оценки производных решения.
5°. Другие граничные задачи. 6°. Оценки норм Гельдера решения. 7°. Задача Коши. 8°. О локальной разрешимости задач. Единственность решений.
Приложение . Модели гидродинамики многокомпонентных жидкостей
1°. Общие уравнения механики многоскоростного континуума. 2°. Модель одномерного взаимопроникающего движения совершенных газов. 3°. Барот-ропные жидкости. 4°. Стационарный многоскоростной пограничный слой ( Модель Рахматулина ). 5°. Тепловой пограничный слой в многокомпонентном потоке. 6°. Переменные Лагранжа и Мизеса.
Л и т е р а т ур а
Современное состояние механики многокомпонентных (многофазных) систем характеризуется интенсивным развитием теоретических и экспериментальных исследований. Большое разнообразие и сложность структуры движения различных смесей отражается в многочисленности созданных математических моделей. Среди них модели, описывающие движение многоскоростных континуумов, которым посвящено множество работ как отечественных, так и зарубежных авторов: Х.А.Рахматулин [25] , К.Трусделл [55] , С.Соу [31] , Р.И.Нигматулин [19] и многие другие. В монографиях С311 , [19] содержится подробный обзор и обширная библиография работ.
В диссертационной работе рассматриваются вопросы корректности постановок краевых задач для некоторых частных моделей гидродинамики смесей, а именно
а) модели стационарного плоскопараллельного движения в пограничном слое двухкомпонентной несжимаемой жидкости (модели Рахматулина),
б) многоскоростной и многотемпературной модели, обобщающей первую,
в) моделей одномерного нестационарного взаимопроникающего движения газовых сред.
Исследование первых двух моделей примыкает к математическим задачам теории пограничного слоя, основопологающими уравнениями которой явились уравнения, предложенные Л.Прандтлем в 1904 г.. Вопросами существования, единственности, устойчивости и дифференциальных свойств решений для системыуравнений Прандтля занимались Г.Вейль, Н.С.Пискунов, Дж.Серрин, К.Никель, 0.А.Олей-

Определение. Неотрицательные функции Ui(X,y)} hi (X, у) и функции 'Щ (Х, у) , принадлежащие классу
(Ui,h i, Qi(гп))е U(о,А; w[(о,/V)П И2-7>
где обозначено (V'i)=lPiVcdx . а S' и и - произвольные константы, удовлетворяющие условию 0 S' ^ о° , назовем слабым решением краевой задачи (2.1 - 2.4, 2.6) ( соответственно (2.1 - 2.3, 2.5, 2.6)), если для любых функций
справедливы равенства
/(Я4+|г/Л 4 dqjfhMdx^ulXiM,
/(Я dt)£u №
L й т (2-8>
+flw ^ ^Ly^^ 2
/(Й«Л+ ^/Я ^ dt)-£h3(x)dx*s№>К1сз
+MfW u$t * +J36J^dx’
I- /,2,... /7 •
Условия (2.4 - 2.5) выполняются в смысле следов функций из указанных классов.
Сильным решением задачи (2.1 - 2.4, 2.6) (соответственно (2.1 - 2.3, 2,5, 2.6)) называются функции j Дг’, для которых помимо (2.7) справедливы включения
(Ui ,hi)e W?(rf)nC,,foA), VLeW?{vl),^e{0,l), (2-9)
для любого конечного N, DA =(0,А]*{ . Уравнения (2.1) и краевые условия (2.3 - 2.6) выполняются почти всюду в
Da •