Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

• Автор: Головин, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 316 с. : ил.

Содержание
Введение

I Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

1 Иерархия частично инвариантных решений дифференциальных уравнений

1.1 Частично инвариантные многообразия

1.2 Частично инвариантные решения

1.3 Иерархия частично инвариантных подмоделей

1.4 Двухшаговое построение решений

1.5 Уравнения мелкой воды

2 Регулярные частично инвариантные решения для уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Классификация частично инвариантных решений

2.2 Подмодель типа (3,1)
2.3 Подмодели типа (2,1)
2.3.1 Подмодель {У2,Уз, У7}
2.3.2 Подмодель {У5,У6,У7}
2.3.3 Подмодель {Уз + Уд, У2 — Xб, X7}
2.3.4 Подмодель {У7, Уз, Хд}
2.3.5 Подмодель {Уз, Уд, У2 + Уд}
3 Вихрь Овсянникова
3.1 Плоский вихрь Овсянникова
3.1.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии
3.1.2 Геометрическое построение поля направлений

3.1.3 Область определения решения в трехмерном пространстве
3.1.4 Стационарное решение
3.1.5 Решения с однородной деформацией
3.1.6 Случай идеальной жидкости
3.2 Сферический вихрь Овсянникова
3.2.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии
3.2.2 Начальное векторное поле на сфере
3.2.3 Критерий отсутствия сингулярностей в начальном поле направлений
3.2.4 Свойства симметрии инвариантной системы
3.2.5 Стационарное решение
3.2.6 Автомодельное решение
3.2.7 Логарифмическая подмодель
3.2.8 Однородная подмодель
3.2.9 Построение решения в целом
3.3 О безвихревом вихре Овсянникова
3.3.1 Безвихревой плоский вихрь Овсянникова
3.3.2 Безвихревой сферический вихрь Овсянникова
3.3.3 Геометрическая трактовка неявного соотношения .
3.3.4 Алгоритм построения безвихревого особого вихря .
3.3.5 Геометрические свойства полученного поля направлений
3.3.6 Совместность с уравнением неразрывности
3.4 О возможности обобщения вихря Овсянникова на случай
произвольных поверхностей уровня решения
3.4.1 Движения газа с плоскими траекториями
3.4.2 Специальное представление искомых функций
3.4.3 Свойства детерминанта <р
3.4.4 Вывод уравнений для поверхностей уровня решения

3.4.5 Классификация возможных видов поверхностей уровня решения
3.4.6 Движение с плоскими волнами
3.4.7 Движения с цилиндрическими волнами
3.4.8 Движение со сферическими волнами
4 Течения несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением
4.1 Предварительные сведения
4.1.1 Перезапись уравнений в криволинейных координатах
4.1.2 Геометрическая интерпретация
4.2 Решения с постоянным полным давлением
4.2.1 Примеры решений
4.2.2 Интегрирование уравнения для векторного поля т.
4.2.3 Анализ полученных решений
Основные результаты раздела
II Приложения дифференциальных инвариантов в гидродинамике
5 Дифференциальные инвариантны бесконечномерных групп Ли
5.1 Предварительные сведения
5.2 Вращательно-симметричные движения вязкой жидкости .
5.3 Пространственные движения вязкой жидкости
5.4 Вращательно-симметричные движения идеальной жидкости
5.5 Стационарная газовая динамика
5.6 Трансзвуковые движения газа

бой квадратные невырожденные матрицы размеров (п — а) х (п — сг) и (ш — д) х (m — д).
Обратимся к строкам матрицы [iV], находящимися ниже двойной линии и соответствующим базисным элементам дополнения Н до N. Путем составления невырожденных линейных комбинаций этих строк с первыми п — о строками матрицы [N] можно занулить блок L. Далее, пользуясь невырожденностью блока С, можно занулить блок S. При этом, блоки К и R останутся неизменными. Операторы, составленные из координат блоков К и R и действующие в пространстве инвариантов группы Н, являются искомыми операторами индуцированного действия факторгруппы N/H в пространстве инвариантов. Необходимое условие существования инвариантного iV/Л-решения (1.13) состоит в том, что ранг блока К равен рангу матрицы, составленной из блоков К и R:
rank К — rank (К, R). (1-21)
Переформулируем это условие в терминах рангов блоков всей матрицы [N]. Для удобства, будем обозначать столбцы из блоков матрицы [N] римскими цифрами I - IV. Заметим, что в силу невырожденности блоков А и С столбцы II и IV линейно независимы между собой и со столбцами I и III. Имеем,
rank (/, II) = rank К + п — сг,
rank(I, II, III, IV) — rank (К, R) + п — сг + т — д.
Вычитая из второго равенства первое, получаем
rank (J, II, III, IV) — rank (I, II) = rank (К, R) — rank К + m — д. Соотношение (1.21) выполнено тогда и только тогда, когда rank (I, II, III, IV) - rank (J, II) = т- д,