Нелокальные краевые задачи для некоторых классов уравнений нечетного порядка

• Автор: Лукина, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

§1.1 Пространственно нелокальные краевые задачи с граничными

условиями A.A. Самарского для уравнений третьего порядка

§1.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями по

времени для уравнений третьего порядка

§1.3 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза

2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАВОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§2.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

УЛЬТРАПАРАВОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§2.2 Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной ДЛЯ УЛЬТРАПАРАВОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов механики, физики, биологии нередко приводит к задачам, называемым в последнее время нелокальными. Более точно, нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо обычных точечных ("локальных") граничных условий задается связь значений решения и (или) его производных в различных точках граничных и внутренних многообразий. Простейшим примером нелокальной задачи является задача нахождения периодических решений, более интересными и значительно трудными представляются задачи, называемые задачами Бицадзе - Самарского [5]. Уже давно было замечено, что нелокальные краевые задачи обладают особенностями, которых нет у обычных, локальных краевых задач. Так, например, в нелокальных краевых задачах для параболических уравнений с условиями Бицадзе - Самарского, обобщающих первую, вторую и третью начально - краевые задачи, возникает эффект понижения гладкости (подобный эффект для классических локальных задач отсутствует), нелокальные интегральные условия могут существенно изменить скорость убывания решений параболических уравнений и т. д.
При математическом моделировании тех или иных процессов может возникнуть ситуация, когда граница области протекания реального процесса недоступна для измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения или же в виде интегралов от решения. С точки зрения математики такая ситуация приводит к новым нелокальным задачам с интегральными условиями.
Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall [67], Г.М. Кесель-мана [22], A.A. Шкаликова [64].
В статье А.Л. Скубачевского и Г.М. Стеблова [56] рассмотрена задача о
2 С
спектре дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами
с нелокальными условиями в виде интегралов Римана:

BjU = j (pj(x)u(x)dx = bj, j = 1
Краевые задачи с подобными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений изучались также в работах Ю.Т. Сильченко [51, 53].
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon [76] и К. Rektorys [82], опубликованные в 1963 году. В статье [76] доказано существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности
Исследование нелокальных по пространственным переменным задач для параболических уравнений были продолжены в работах Л.И. Камынина [20],
Н.И. Ионкина [19], JI.A. Муравья и A.B. Филиновского [36, 37], С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [3], A. Bouziani и N-E. Benouar [68, 69], A. Bouziani [70, 72], Н.И. Иванчова [18], J.R. Cannon и Van der Hoek [74, 75], З.А. Нахуше-вой [41, 42], Ю.Т. Сильченко [50, 52, 83], А.И. Кожанова [24], Л .С. Пулькиной
Щ = ихх, х > 0, t > 0,
удовлетворяющего условиям

и(х, 0) = <р(х), х > 0,

В статье [82] интегральное условие имеет вид

[46].

лах от 0 до Т, получим систему относительно (Byu)(x), (В2и)(х), (Взи)(х):
[1-/(1- )Ki(x,t)dt](B1u)(x) - f(t - £)Ki(x,t)dt(B2u)(x)-
т° °
- f 1K1(x,t)dt(B3u)(x) = (Ягш)(ж), о

- f(l — )K2(x,t)dt(Bu)(x) + [1 — J(i — о
-/ K2(x,t)dt(B3u)(x) = (-B2w)0), о
- /(1 - )Я'з(ж,<)сгі(Б1и)(ж) - f(t- Y)K3(x,t)dt(B2u)(x)+ о о
+[1 - / K3(x, t) Обозначим через Ді(ж) определитель этой системы. Если он не равен нулю при х Є Q, то имеют место равенства
(Вхи)(х) = ац(ж)(Віго)(ж) + о2і(ж)(Б2гн)(ж) + aSi(x)(B3w)(x), (В2и)(х) = bn(x)(B1w)(x) + b21(x)(B2w)(x) + b3i(x)(B3w)(x),
(.B3u)(x) = сц(ж)(Віги)(аг) + с2і(ж)(В2гн)(ж) + с3і(ж)(Б3гф(ж),
где функции а,і(ж), гі (ж), Cji (ж) вычисляются вполне определенным образом через К/х, і), г = 1,3.
Из этих равенств и из (1.2.6) следует, что функция u(x,t) имеет представление
u(x,t) = ги(ж,£) + Иц(х,і)(51ги)(а;) + Л2і(ж, t)(B2w)(x) + A3i(x,t)(B3w)(x).
(1.2.7)
Определим операторы В и L:
(Bu)(x,t) = u(x,t) - (1 - |)(5ім)(ж) - (t-—)(B2u)(x) - (В3и)(х),
Lu — 'U'ttt H- 'U'xx