Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка

• Автор: Зарубин, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I
Начально-краевая задача для дифференциально-разностного параболического уравнения третьего порядка со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени и характеристической линией изменения типа.
§1. Единственность решения задачи К
§2. Начально-краевая задача К для линейного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом по пространственной координате
2.1. Единственность решения задачи К
2.2. Краевая задача для линейного однородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента
2.2.1. Постановка задачи. Единственность решения. Построение фундаментальной системы решений
2.2.2. Исследование частного решения
2.2.3. Построение решения
2.3. Краевая задача для линейного неоднородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента
2.3.1. Исследование частного решения неоднородного уравнения
2.3.2. Построение решения
2.4. Существование решения задачи К|
§3. Разрешимость задачи К
ГЛАВА II
Задача Жевре для смешанного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом и нехарактеристическими линиями изменения типа.
§4. Постановка задачи С. Единственность решения
§5. Существование решения
5.1. Редукция задачи в к системе интегральных уравнений
5.2. Применение операторов дробного интегродифферен-
цирования при сведении системы интегральных уравнений к системе сингулярных интегральных уравнений
5.3. Исследование системы сингулярных интегральных
уравнений
ГЛАВА III
Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа третьего порядка.
§ 6. Начально-краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом
6.1. Постановка задачи И
6.2. Первая начально-краевая задача Дарбу для выро-
ждающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом
6.3. Единственность решения задачи К
6.4. Существование решения задачи И
§ 7. Начально-краевая задача для уравнения эллиптико-параболического типа третьего порядка с запаздывающим аргумент,ом,
7.1. Постановка задачи Р. Единственность решения
7.2. Задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного эллиптического уравнения
7.2.1. Постановка задачи. Единственность решения
7.2.2. Существование решения задачи Неймана-Дирихле
7.3. Существование решения задачи Р
ЛИТЕРАТУРА
Приложение 1 Приложение 2 Приложение

Введение.
Актуальность темы. Многие задачи трансзвуковой газовой динамики. гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитогидродинамики, физики плазмы, другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа третьего порядка с последействием
Ци(х, у) - 3 фу у) = и(х -т,у) + /(.ту у) {г = 1, 2, 3), (0.1)
учитывающее тот факт, что изменения в физических системах зависят не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от предыстории.
В уравнении (0.1) L = di/dxi — к(х, у) д/ду (к(х.у) = sgn у или к(х,у) = sgnx(r — х)'] - смешанно-параболический, L-i = (д/дх)2+1,№ —
— (8/dyf~HW параболо-гиперболический и L;$ = (д/дх)2+п^ +
+ (—д/ду)2~н^ эллиптико-параболический операторы третьего порядка; В. т = const, т > 0: Н{£) - функция Хевисайда; /(ж, у) заданная, а и(х,у) - неизвестная функции.
Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных смешанных областях, содержащих внутри себя как характеристические, так и нехарактеристические линии изменения типа.
Существенное отличие уравнения смешанного типа (0.1) от ранее изучавшихся состоит в том, что оно является дифференциально-функциональным. Уравнение (0.1) не рассматривалось, хотя его можно получить при изучении колебаний кристаллической решетки [98]; при изучении распространения волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие [30]; при решении задач нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [172] и задач теплообмена при обтекании поверхности покрытой материалом с тепловой памятью [6] и др.
Актуальность исследования следует как из внутренних потребностей теоретического обоснования классических задач для уравнений матема-
Отсюда, с учетом (2.31), имеем