Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае

• Автор: Назирова, Эльвира Айратовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
Введение
0.1 Основные понятия и определения
0.2 Содержание главы 1
0.3 Содержание главы 2
0.4 Содержание главы 3
0.5 Содержание главы 4
1 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху. Случай медленнорастущей фукнции ртг_/(ж).
1.1 Введение
1.2 Преобразование уравнения (1.1)
1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1)
2 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у — Ху. Случай быстрорастущей функции рп_г(ж).
2.1 Введение
2.2 Преобразование уравнения (2.1)
2.3 Асимптотика решений уравнения (2.1)
3 Исследование индексов дефекта самосопряженных дифференциальных операторов.
4 О спектре дифференциальных операторов в вырожденном случае.
Введение.
0.1 Основные понятия и определения.
Одной из основных задач в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов является задача исследования их спектральных свойств в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ [1-17, 24-28]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.
Как известно (см. [12]), самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка необходимо имеет вид:
|1у=£(-1)‘(р»-*<ф,*))(*). (Г

где pj(ж), j = 0,п - вещественные функции.
Определение 1 .
Выражение 1у, рассматриваемое на конечном интервале (а,Ь) при условии, что коэффициенты ... ,рп(х) суммируемы во всем
(а,Ь), называется самосопряженным регулярным дифференциальным выражением. В противном случае выражение 1у называется сингулярным самосопряженным дифференциальным выражением.
Определение 2 .
Квазипроизводные функции у, соответсвтующие выражению 1у, определяются формулами:
у[п] = Ро{х)^~|, у[п+й] = Рк(х)
сГ ку д
(г/^-Ч), к — і,п.
СІХп~к СІХ
Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что
Мы будем считать, что выражение £у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные функции у до (2п — 1)-го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конеч-
где Рк{х), к = 1 ,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные фукнции. Введем в рассмотрение пространство £2(0,00). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х > Я, Я > 0 (выбор Я вообще говоря различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через £о.
Определение 3 .
Оператор £о называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в £2(6,00).
Сопоставим уравнению
к У = у[2п]-
ном подынетервале [а,/3 интервала (а,Ь).
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение

О < х < оо, (2)
1у = Ху

В силу того, что, как было показано выше, функция р'п_[(х)/р^_г(ж) суммируема на [жо,оо) при любом р > 1, то функция
Рп~і(х) _ ((Рп-гИ
Рптп-щ[х) Рі_і{х))
- также суммируема на [жо,оо). Доказательство закончено.
Лемма 6 .
Элементы матрицы С2 суммируемы на [жд, со). Доказательство.
В силу формул (1.11) имеем для г,у = 21+1, 2п: //-т 1 ( Су(Ж) А)
4(Ж>Л)
- /лДя, А), сгу(ж,А)(ц(-(ж,А) - д'(ж, А))
(1.29)
АЧ(®,А) - Ц;(ж,А) (р,г(х,) - у1у(х,Х))
Чтобы выяснить асимптотическое поведение слагаемых в правой части (1.29), , изучим асимптотическое поведение при х —>■ оо функций ц'(ж,А), г = 21 + 1,2п. Для этого возьмем полный дифференциал от обеих частей характеристического уравнения Р{х, А, у) = 0 и выразим из полученного соотношения ц((ж,А):
, _ дР{х,Х,^)/дх
3 ’ ЭР[х,,ц-)/др
Учитывая условие 4) и оценку (1.19), получим:
дР(х, А, /у,)

т-шшг■"(*,*)

< Е Сі • 1рЕ1[|р»-.МГ1+‘/(’,-Ч“"2У. А) <