Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругости

• Автор: Давлетов, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Сходимость решений и собственных элементов возмущенной краевой задачи Дирихле для общего оператора теории упругости в п-мерной ограниченной области с малой полостью

§1. Постановка задачи

§2. Предварительные сведения

§3. Доказательство теоремы

§4. Доказательство теоремы

Глава 2. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенной краевой задачи (трехмерный случай)

§1. Постановка задачи

§2. Построение асимптотики собственного значения

§3. Доказательство теоремы
Глава 3. Асимптотика собственных значений возмущенной краевой задачи (двумерный случай)
§1. Матрица фундаментальных решений
§2. Постановка задачи
§3. Вспомогательные утверждения
§4. Доказательство теоремы

Литература

Введение
Математические модели физических явлений в электродинамике, аку- . стике, теории упругости и так далее, описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [32]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.
Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылынин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, JI. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sanchez-Hubert и многие другие (см., например, [2], [3], [4], [5]—[8], [55], [9], [10], [12]—[22], [56], [57], [26], [27]—[29], [30], [36], [37], [38], [40], [43], [44], [45]-[47], [61]-[63], [49], [66], [50], [51], [53], [54], [58], [59], [60], [64], [65], [67], [68].
В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи Дирихле для оператора теории упругости в ограниченных областях, из которых удалена малая окрестность начала координат.
Такие задачи возникают, например, в механике разрушения в связи с необходимостью уточнения расчетов в окрестности включений и полостей.
В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диаметр отверстия,

а также получены равномерные по малому и спектральному параметрам оценки решений и изучены спектральные свойства таких краевых задач.
Задачи подобные исследуемым имеют давнюю историю. В [28] построена асимптотика решения скалярной краевой задачи Дирихле для эллиптического оператора второго порядка в n-мерной ограниченной области (п > 2), из которой удалено малое подмножество.
Поведения собственных значений скалярных эллиптических краевых задач в областях с малыми отверстиями исследованы, например, в работах [38], [64], [65], [25], [48]. В [48] была получена оценка скорости сходимости собственного значения краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с малой полостью. Позднее аналогичные результаты получены Ю.Н. Днестровским и Sh. Ozawa в работах [25], [64]. В работе [65] построен главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием. В [38] были получены полные асимптотические разложения первых собственных чисел и соответствующих собственных функций классических краевых задач для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с малыми отверстиями.
Спектральные краевые задачи для эллиптических операторов теории упругости в ограниченных областях с малыми отверстиями исследованы в работах [23]—[24], [31]. В [31] рассматривался случай краевых условий Неймана на границе n-мерной области (п > 3) с малой полостью. Построены полные асимптотические разложения собственных элементов возмущенной краевой задачи для общей системы теории упругости. В работе [23] доказана сходимость собственных элементов возмущенной краевой задачи Дирихле для общего оператора теории упругости к собственным элементам, соответствующей.предельной краевой задачи, когда па-

3) при X, близких к Ао, для решения краевой задачи (1-1) имеет место представление
иzl'Фe){L1{0.)У . , ~
и£ = д _д 'Фе + ие,
где Х£ - собственное значение однородной краевой задачи (1.1), сходящееся к Ао при е —> 0, а фе - соответствующая собственная вектор-функция. Вектор-функция и£ ортогональна в ((О))” вектор-функции фе и для неё справедлива равномерная по £ и X оценка:
||Йе| 1((0))" < С'И/еИо))»*