Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием

• Автор: Сабатулина, Татьяна Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Обозначения
Введение

Глава I. Объект исследования и постановка задачи

§ 1.1 Примеры биологических моделей и их эволюция

§ 1.2 Линейное функционально-дифференциальное уравнение

§ 1.3 Линейное дифференциальное уравнение с распределённым

запаздыванием и его свойства

Глава II. Линейные автономные уравнения с распределённым

запаздыванием

§ 2.1 Автономные уравнения и их свойства
§ 2.2 Устойчивость линейных автономных дифференциальных
уравнений с распределённым запаздыванием
§ 2.3 Устойчивость линейных автономных дифференциальных
уравнений с распределённым запаздыванием. Общий случай
§ 2.4 Положительность функции Коши
Глава III. Линейные неавтономные уравнения с распределённым запаздыванием
§ 3.1 Положительность функции Коши уравнения (1.23)
§ 3.2 Положительность функции Коши уравнения (1-24)
§ 3.3 Устойчивость уравнения (1.23)
§ 3.4 Устойчивость полуавтономных уравнений
Глава IV. Приложение к моделям
§ 4.1 Обобщённая модель Хатчинсона
§ 4.2 Модели кроветворения

4.2.1 Обобщённая модель Ласоты-Важевски
4.2.2 Обобщённая модель Мэкки—Гласса
§ 4.3 Обобщённая модель мясных мух Николсона
Заключение
Литература

Обозначения
N = {1,2,3,...}
М0 = {0,1,2,3,...}
Ж = (—оо, +оо)
Ж4. = [0, +оо)
Ж;} = Ж+ х Ж+
С — пространство комплексных чисел.
Спхп — пространство комплекснозначных матриц размерности п х п. А = {(£, я) € Ж+: I ^ я}
А ( = {(£, я) £ [0, /] X [0,1-Л> я}
Локально суммируемыми и локально абсолютно непрерывными называются функции, обладающие свойствами соответственно суммируемости и абсолютной непрерывности на каждом конечном отрезке своей области определения.
Ь — пространство суммируемых на Ж+ функций с нормой
11*11 = /о°° 1Х№1СЙ-
Ьр, 1 < р < оо — пространство суммируемых со степенью р на Ж+ функций с нормой ||ж|| = (/0°° |ж(£)|Рей)р.

Поэтому для автономных уравнений фундаментальное решение xq естественно сделать основным объектом изучения. Отметим ряд его важных свойств.
Фундаментальное решение Xq автономного уравнения удовлетворяет задаче
x(t) + ax(t) + к / x(s) ds = 0, t е К . ,
Jt-r-h (2.6)
х(0) = 1, ®(е) = 0, £<0.
Из (2.5) следует, что уравнение (2.1) является экспоненциально устойчивым, если при некоторых положительных М и 7 для любого положи-
тельного t справедлива оценка
ы*)| ^ Me"*. (2.7)
Применим к уравнению (2.6) преобразование Лапласа:
Х(р) = у—^.
р + а + be-?7 (1 - e~ph)
Согласно формуле обратного преобразования Лапласа
rX+iy
жо(*) = lim / eptX(p)dp, (2.8)
JX-iy
где интеграл берётся вдоль любой прямой А = Rep так, чтобы eptX(p) была аналитической в области Rep > А. Такая область найдётся вследствие оценки (1.20) фундаментального решения уравнения (2.1):
xo(t) < е(М+№*
Введём обозначение
9{р) — р + а + ^е~1ГТ (1 — е~рН) . (2.9)
Заметим, что функция д(р) имеет устранимую особенность при р = 0; при р 7^ 0 функция д(р) является аналитической. Следовательно, Х(р) имеет особенности (полюса) только в тех точках, где д(р) = 0.
Итак, исследуя квазиполином д(р), мы изучаем фундаментальное решение хо. Более того, для задач, рассматриваемых в данной работе, достаточно исследовать расположение нулей квазиполинома д{р). Для асимптотической устойчивости уравнения (2.1) необходимо и достаточно, чтобы все нули квазиполинома д(р) лежали слева от мнимой оси.