Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах

• Автор: Муртазина, Сария Аширафовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
Введение
1 Операторный метод исследования бифуркационных задач И
1.1 Задача о вынужденных колебаниях
1.2 Бифуркации отображений и периодических орбит
1.3 Бифуркации малых решений операторных уравнений
1.4 Доказательства основных утверждений
2 Исследование основных сценариев бифуркаций вынужденных колебаний
2.1 Признаки бифуркации вынужденных колебаний
2.2 Асимптотические формулы
2.3 Алгоритм локализации языков Арнольда
2.4 Доказательства основных утверждений
3 Устойчивость бифурцирующих решений
3.1 Задача об устойчивости бифурцирующих решений
3.2 Основные положения метода исследования устойчивости
3.3 Анализ устойчивости бифурцирующих решений
3.4 Доказательства основных утверждений
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам А.М. Ляпунова [33], [34], А. Пуанкаре [47], H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [10], [11], [29], [72], В. Г. Веретенникова [14], [15], И.Г. Малкина [40], [41], В.А. Плисса [44], [45], М. Розо [48], Ж. Флоке, Л. Чезари [56], И. 3. Штокало [59], В.А. Якубовича [61] и многих других математиков.
Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвящены работы Андронова A.A. [1-3], В.И. Арнольда [4], [5], М.А. Красносельского [25], А.М. Красносельского [24], А.П. Кузнецова и С.П. Кузнецова [30], [31], [70], B.C. Козякина [21], [22], H.A. Магницкого [35], [36], [37], М.Т.Терехина [52], Ж.К. Хейла [55], [65], [66], Л.П. Шильникова [58], [74] и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно

меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.
Основной целью диссертационной работы является разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
1. Разработка операторных методов исследования основных сценариев бифуркационного поведения многопараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;
2. Получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных динамических системах и их дискретных аналогах;
3. Получение асимптотических формул для вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;
4. Анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два.
Краткое содержание работы.
Основным объектом исследования работы является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра цсТ-периодической по £ правой частью:
х' =/(жД, д), х е IIм, цб11к, (1)

Скорость движения гиперповерхности определяется величинами IIЯ (я) II, НЛО) II, которые должны быть достаточно велики. Будем изменять параметры а и (3, двигая множество Р так, чтобы что их точка пересечения х* будет отвечать одному и тому же значению (а*,Р*) двумерного параметра (а, (3), т.е. для функционалов /{х) и /2(т) выполняется: Д(х*) = а*, /2(2;*) = /3*; для решения выполняется: х(а*,/3*) = х*. При этом х* будет единственным решением уравнения (1.28) при а — а* и /3 = (3*. Остальные точки х{а,(3) указанным свойством не обладают. Вообще говоря, гиперповерхность Р не обязательно проходит ортогонально плоскости До
Рис. 3 (функционализация параметра)
Таким образом, чтобы существовало решение х* необходимо, чтобы угол между Рр И До был ненулевым, ВО вторых векторы /{(ее), /2(ее) должны иметь достаточно большие нормы
11Я(«0П, Ш«0||»1. (1.50)
В дальнейшем, для удобства переобозначим
а{х) = Ь{х), (3{х) = /2(х).