Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения

• Автор: Ротанова, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой
1.1 Постановка задачи
1.2 Препятствие, выходящее на границу области
1.3 Предельный случай
1.4 Жесткое включение в пластине .'
2 Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение
2.1 Геометрия задачи о контакте двух упругих пластин
2.2 Жесткое включение в нижней пластине
2.3 Другие случаи расположения жесткого включения
2.4 Предельный переход от упругого включения к жесткому
2.5 Выход области контакта на внешнюю границу
2.6 Жесткое включение в верхней пластине
3 Задача об одностороннем контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткое включение
3.1 Жесткое включение в двух пластинах
3.2 Первый вариант расположения жесткого включения
3.3 Второй вариант расположения жесткого включения
3.4 Выход жесткого включения на границу верхней пластины
Список литературы

Введение
Механика контактных взаимодействий твердых деформируемых тел представляет в настоящее время большую и активно развивающуюся область механики сплошных сред. Широкий интерес к данной тематике обусловлен тем, что все механизмы и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, физические процессы в которых описываются задачами контактного взаимодействия. Текущее развитие науки и техники создает необходимость в математических постановках новых задач о контакте упругих и неупругих тел и их изучении. Кроме того, внутренняя логика развития этого современного раздела механики сплошной среды в свою очередь является сильнейшим стимулом развития соответствующих фундаментальных разделов математики.
В данной диссертационной работе рассматриваются краевые задачи о равновесии контактирующих друг с другом упругих тел, содержащих жесткие включения, в негладких областях. Под жестким включением понимается подобласть пластины, характеризующаяся нулевыми деформациями. Однако перемещения точек данной области имеют заданную структуру и не всегда нулевые, в отличие от абсолютно жестких недеформируемых тел. Краевые условия на негладких компонентах границы имеют вид системы равенств и неравенств.
Задача о контакте двух упругих тел была впервые поставлена и решена в конце XIX века Герцем при значительных ограничительных допущениях, в частности, предполагалось, что площадка соприкасания тел весьма мала, а уравнения недеформируемых поверхностей вблизи области контакта могут быть представлены в упрощенном виде. В дальнейшем при более общих предположениях эта задача рассматривалась в работах И.Я. Штаермана [87], [88]. A.B. Бицадзе приводит эту задачу к сингулярному интегральному уравнению, решение которого находится сразу, см. [5]. Основополагающими работами в области контактных задач считаются также работы Я. Бусси-неска, С.А. Чаплыгина, А.Н. Динника, Н.М. Беляева.
Многие контактные задачи могут быть приведены к граничной задаче

теории функций комплексного переменного, методы которой, развивавшиеся с 30-х годов XX века Н.И. Мусхелишвили и его учениками, оказались весьма эффективными, см. [46]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти, например, в [17], [45]. Теория пространственных! контактных задач была развита в [41], [88]. Отметим также более позднюю работу Л.А. Галина [11].
Начало бурного развития теории контактных задач совпало с годами Второй мировой войны. Такая задержка в математическом развитии теории контактного взаимодействия объясняется недостаточностью математических средств, применявшихся в прошлом для ее исследования. К настоящему времени для исследования контактных задач теории упругости применяются разнообразные математические модели и методы. Сведение задач к интегральным уравнениям и последующее их изучение описаны, например, в [52]. Отметим также метод Винера-Хопфа для решения интегральных уравнений, основанный на идее факторизации. Метод потенциала в теории упругости ([31]) также нашел применение к контактным задачам. Широкое использование при исследовании контактных задач получили методы сведения к бесконечным алгебраическим системам (асимптотический метод), методы ортогональных многочленов и парных интегральных уравнений. Эти подходы, ставшие классическими, применяются в задачах о контакте упругих и неупругих тел с краевыми условиями на множестве контакта вида равенств. Отметим обзорную монографию [55], в которой изложены математические методы, разработанные к 1976 году для исследования контактных задач с условиями вида равенств. Прикладные аспекты контактных задач с линейными краевыми условиями можно найти в [1], [14]. Однако при рассмотрении многих практических задач точность решения, полученного в рамках таких моделей, является недостаточной.
Все краевые задачи, рассматриваемые в данной работе, относятся к классу задач с неизвестной границей. Задачи о контакте упругих тел с неизвестной границей занимают важное место среди математических задач механики твердого тела. В задачах этого класса конкретное краевое условие на границе определяется лишь после решения задачи в целом. Такие ситуации

Тогда функционал энергии приобретает вид:
И£('Ш,и) = J ати)гЫ'Шм - J gw + ! Ъеи2хх - У /и,

а вариационное неравенство выглядит следующим образом:
(У«е) е Къ J <ц&1У/ы(й) - IVе)(1.25) - ! д{ш — гуе) + J ${й-ие)> 0 /(гй, й) € Дц. (1.26)

Покажем далее, что в (1.25), (1.26) можно осуществить переход при е —> 0. Подставляя в (1.25), (1.26) в качестве пробных функций (0,0) и 2(ше,м£), приходим к следующему равенству:
/«««КА - /<К + + / ;-4А - /к = 0, (1.27)
Пх Щ
откуда
I |УУш£|2 + У К,|2<с13,

где постоянная щз ограничена для всех 0 < е < £(,. Последнее неравенство обеспечивает равномерную по 0 < £ < £о оценку решения:
1111(00 + КНВД - С14-
Из рефлексивности рассматриваемого пространства и полученной оценки следует, что из последовательности (и)6, иг) можно извлечь слабо сходящуюся к (ги,и) подпоследовательность. Сохраним за ней обозначение (те,и£). Далее, из (1.27) получим
КИЦпо +1111(7) + С15>
где Д2,0(72) = {у £ Н2{72) | V = ух — 0 на (ду) П (ду2)} Таким образом, и£ сильно сходится к нулю в пространстве Н2,0(72).
Подставляя теперь в (1.26) тестовую функцию (гй,и) £ К, где и = й в 71, и = 0 в 72, получаем соотношение
,(й> - ю£)„ - У д(ги- ю£)+