Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа

• Автор: Алексеенко, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 76 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Системы функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа (ЗФДУ)
§1.2 Я-класс почти периодической системы ЗФДУ
§1.3 Теорема М. Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом
ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНО- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА
§2.1 Гладкие функционалы Ляпунова-Красовского
§2.2 Признак асимптотической устойчивости для почти
периодических систем ЗФДУ
§2.3 Примеры
ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
§3.1 Признак слабой экспоненциальной устойчивости для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами
§3.2 Коэффициентный признак слабой экспоненциальной устойчивости для почти периодически нестационарной

системы автоматического управления с запаздыванием в управляющем устройстве
§3.3 Признак экспоненциальной устойчивости для линейных ЗФДУ с почти периодическими быстро осциллирующими коэффициентами
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
1. Исследование устойчивости решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами — относительно мало разработанная область теории устойчивости. Если в частном случае периодических коэффициентов на основе теории Флоке и ее бесконечномерных аналогов в работах А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре, М. Г. Крейна, В. А. Якубовича,
В. М. Старжинского, В. И. Дергузова, П. А. Кучмента, А. Халаная, А. М. Зверкина, С. Н. Шиманова, A. Stokes, J. Lillo и других авторов разработаны достаточно общие эффективные критерии устойчивости и на этой базе решен ряд практических задач [1]—[46], то здесь, ввиду большой трудности задачи, известные до последнего времени результаты относятся главным образом к специальным классам уравнений с малым параметром — исследования И. 3. Штокало, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, В. Н. Фомина, Ю. С. Колесова и других [47]—[60].
Вместе с тем, задачи, теории автоматического управления, теории колебаний систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость решений почти периодических уравнений, не вкладывающихся в схему метода малого параметра.
Некоторое продвижение в этой области произошло в 90-е годы. В 1992 г. в работе С. М. Добровольского, А. С. Котюргиной, Р. К. Романовского [61] установлен достаточный признак экспоненциальной устойчивости для линейной системы х = A(t)x в терминах функции Ляпунова v =< G(t)x,x > с почти периодическими A(t), G(t), G(t), в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известной теоремой для линейных систем общего вида. В работе [62] этот результат

Пусть 0 < т 1 а. Интегрируя (2.17), (2.18) по отрезку [0, т] и затем почленно вычитая из второго первое, получим

хп(т) - х(т) = хп(0) - х(0) 4- 1[дп{хп,3, в) - д(х3, в)]

= ж„(0) - ж(0) + |[5п(®п1в, в) - 9п{х3, в)] (1з + о

+ /[дп{х3, й) - д(х3, й)] сй>
Отсюда с учетом условия Липшица по первому аргументу для 9п е Я [/]

|ж„(т) - ж(т)| |ж„(0) - ж(0)| + I дп(х8,з) -д(х3,з)с1з +

+ / Iдп(хп,а,8) - дп{х8,з)(1з

aen + (1 + o,Li)8n + L J£n(s) ds.

Откуда следует

£n(t) аеп + (1 + aL)8n + L J £n(s) ds. (2.20)

Применяя к операторному неравенству (2.20) теорему Крейна (§ 1.3, Т. 1.4), получим оценку
Ш а£п + (1 + aL)Ôn] eL.
С учетом, что еп, 6п —) 0 при п —> оо, а
eLt eLa = const > О,