Об асимптотике и точных интегральных оценках решений краевых задач в областях, перфорированных вдоль границы

• Автор: Королева, Юлия Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обзор литературы

2 Структура работы

1 Усреднение спектральных задач и неравенство тина Фридрихса

§1.1 Задачи с частой сменой типа краевых условий на

фиксированной части границы

1.1.1 Основные результаты

1.1.2 Доказательство основных теорем и некоторые

вспомогательные результаты

1.1.3 Некоторые частные случаи

§ 1.2 Задачи в областях, перфорированных периодически
вдоль границы, с частой периодической сменой типа краевого условия на мелкозернистой границе
1.2.1 Доказательство вспомогательной леммы
1.2.2 Доказательства основных результатов
1.2.3 Оценка решения в окрестности собственного
значения
§1.3 Задачи в областях, перфорированных нспериодически вдоль границы, с частой непериодической сменой типа краевого условия на мелкозернистой границе
1.3.1 Двумерный случай
1.3.2 Трехмерный случай

2 Асимптотическое разложение собственных значений и точные константы в неравенстве типа Фридрихса
§2.1 Асимптотические разложения собственных значений
граничных задач
2.1.1 Формулировки основных результатов
2.1.2 Доказательство основной теоремы
2.1.3 Доказательство вспомогательных лемм
§ 2.2 Асимптотика константы в неравенстве Фридрихса
Список литературы

Введение
1 Обзор литературы.
Краевые задачи с мелкомасштабной структурой около границы рассматривались разными авторами. Такие задачи подразделяются на задачи в областях с быстро осциллирующей границей, задачи в областях с концентрированными массами, задачи с быстрой сменой типа краевых условий на фиксированной и мелкозернистой границе, например, в областях, перфорированных вдоль границы, см. монографии [26], [38], [45], [48] и список литературы в них.
Граничные задачи с быстро меняющимся типом краевых условий на фиксированной границе области изучались многими математиками, такими, как Д. И. Борисов, Р. Р. Гадыльшин,
О. А. Олейник, Г. А. Чечкин, Е. Я. Хруслов, A. Damlamian, Li Та-Tsien, M.Lobo, М. Е. Perez и др.(см. [6]-[13], [38], [43], [44], [48], [55], [56], [59], [60], [61], [75], [78], [88] и [89]). Предполагается, что граница области разделяется на две части с микронеоднородной структурой, которые чередуются, на каждой из этих частей ставится свое граничное условие. Одна из частей подчиняется условию Дирихле, а другая - условию Неймана или смешанному типу граничного условия. При этом предполагается, что каждая часть границы состоит из большого числа непересекающихся компонент, мера каждой из которых зависит от малого параметра, характеризующего характерный размер микронеоднородности границы, и стремится к нулю при стремлении малого параметра к нулю. Процедура

функций из Н1) с нулевым следом на Г4.
Замечание 1.2.1. В дальнейшем будем отождествлять функции из пространства П1(0,£.Т£) с функциями из Н1(ф1), равными нулю в ВЕ, а функции из пространства І/г(Цє) - с функциями из равными нулю в В£. С другой стороны, для сужения функций из 1/2(П) на ГЦ будем сохранять их обозначения.
Обозначим через ЦиЦо и ||и||і нормы функции и в пространствах Ьо(£1) и іТЦП), соответственно.
Целью данного параграфа является доказательство следующих двух утверждений.
Теорема 1.2.1. Пусть / Є Т2(П), <5 — произвольный компакт на комплексной плоскости С, не содержащий собственных зна чений спектральной задачи
—Д«о = А(Що в Ц,
< щ = 0 на Г4, (1.2.1)
= 0 на Г Г4.
Тогда:
1) существует число £а > 0 такое, что при любом, є < єо и любом А Е (() решение краевой задачи
'-ли£ = ие + / вП£,
< и£ = 0 на Ге, (1.2.2)
. = 0 иаТ.
существует и единственно, а также справедлива равномерная по є и А оценка
Мі < СЦ/ІІ0І (1.2.3)