Метод задачи о скачке в задачах сопряжения решений уравнений с частными производными

• Автор: Ахмед Махер Абдель Басет
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 95 с. : ил

— 2 — Оглавление
Введение
Глава 1. Задача о скачке для уравнений с частными производными
§1. Распределения и преобразование Фурье
§2. Задача Коши в полупространстве и задача о скачке на гиперплоскости
§3. Сингулярные интегральные уравнения
Глава 2. Уравнение Гельмгольца в слоистых средах
§4. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости и в полосе .
§5. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде
§6. Задача дифракции электромагнитных волн на металлических лентах
§7. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в осесимметричной слоистой среде
Глава 3. Граничные задачи для модельных уравнений смешанного

§8. Задача о скачке для уравнения Лаврентьева-Бицадзе: метод интегральных уравнений
§9. Задача о скачке для уравнения Лаврентьева-Бицадзе: метод преобразования Фурье
§10. Задачи с дефектом на линии изменения типа для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
§11. Граничные задачи для обобщенного уравнения Трикоми
Литература
Введение
Диссертация посвящена задачам линейного сопряжения для дифференциальных уравнений 2-го порядка с частными производными на плоскости. В общем случае задача линейного сопряжения состоит в следующем. Пусть Ь - общий участок границ областей А, и Ь,Ь2 - оставшиеся части их границ.
Нужно найти в и решения щ(х,у) и и2(х,у) линейных дифференциальных уравнений с частными производными, удовлетворяющие на Ь условиям сопряжения вида

«1(<) «1(<) + 0а(*) «гСО = с2(*), Ь1(г)-^(4) + а2(<)-^(0 = с2(*), * € Ь, (0.1)
где <9/<9п - производная по нормали к £, и некоторым граничным условиям на Ь и Ь2. Если области 1Д и бесконечны, то участки границ и Ь2 могут отсутствовать.
Термин ’’задача линейного сопряжения” наиболее часто используется в литературе в теории граничных задач для аналитических функций [13], [31]. Задача линейного сопряжения (задача Римана) для аналитических функций состоит в следующем: нужно найти аналитическую вне линии Ь функцию, если на Ь задана линейная комбинация предельных значений этой функции. Отметим, что задача Римана фактически представляет собой задачу сопряжения для системы дифференциальных уравнений Коши-Римана. Задачи сопряжения для пар гармонически сопряженных функций, для обобщенных аналитических функций и для эллиптических уравнений с частными производными второго порядка исследовались в работах Л.Г.Михайлова (см. обзорную статью [29]). Все эти задачи были сведены к задачам сопряжения для аналитических функций.
Многие задачи математической физики являются задачами линейного сопряжения для уравнений с частными производными. К таким задачам относятся, например, задачи теории упругости о взаимодействии упругих тел, задачи распространения волн в неоднородных средах, задачи дифракции волн на препятствиях различной природы. В этих задачах на границе раздела сред обычно сопрягаются

решения уравнений или систем уравнений с частными производными одного и того же типа. В многочисленных публикациях, посвященных граничным задачам для уравнений и систем уравнений смешанного и смешанно-составного типа, исследованы задачи сопряжения на общем участке границы решений уравнений с частными производными различных типов.
При решении задач сопряжения для уравнений с частными производными естественно использовать метод частичных областей (метод сшивания). Если ввести вспомогательные неизвестные функции на линии L, например, предельные значения из Di и £>2 искомых решений и их нормальных производных, и найти решения вспомогательных граничных задач для областей Di и £>2, то условия сопряжения на L дадут систему функциональных уравнений для определения вспомогательных неизвестных функций. Если решения вспомогательных граничных задач в частичных областях £>i и £>2 могут быть получены в интегральной форме, то сшивание их решений на общем участке границы дает систему интегральных уравнений.
Особый интерес представляют задачи сопряжения с разрывными коэффициентами в условии сопряжения (0.1). В диссертации исследован наиболее типичный случай, когда на некоторой части М линии L заданы значения искомых решений или их производных, а на оставшейся части N этой линии решения и их производные должны быть непрерывны. Такие условия появляются, в задачах дифракции электромагнитных волн на металлических экранах [21], [33], [47], [51] и в задачах теории упругости для тел с дефектами различной природы (разрезами или тонкими включениями) [12], [30], [34], [35], [41], [42]. При исследовании задач сопряжения с разрывными коэффициентами в диссертации использован метод задачи о скачке. Основная идея метода сводится к следующему [54]. В качестве вспомогательной задачи рассматривается простейшая задача сопряжения с условиями
ui(t) - u2(t) = a(t), ^01) - ^(t) = b(t), t € L (0.2)
(задача о скачке). Предположим, что получено в явном виде решение задачи о скачке, то есть функции щ(х, у),и2(х,у) удается выразить через функции a(t),b(t). Тогда для задач рассматриваемого класса условия на линии М сразу сводятся к уравнениям (как правило, интегральным) для a(t),b(t), так как на N эти функции равны нулю. Здесь явные решения задачи о скачке можно рассматривать как потенциалы специального вида. Отметим, что потенциалы простого и двойного слоя, которые используются при сведении ряда задач математической физики к интегральным уравнениям, являются решениями задачи о скачке в случае, когда одна из функций a(t) или b{t) равна нулю. При этом в областях £>х и D2 обычно рассматривается одно и то же уравнение с частными производными.
При решении задачи о скачке методом частичных областей нужно предварительно получить решения двух вспомогательных задач для областей D и £>2 с условиями

дающие решение задачи, можно показать, что при гладких граничных функциях обобщенные решения совпадают с классическими.
Образ Фурье решения уравнения Гельмгольца (4.1) должен удовлетворять алгебраическому уравнению с коэффициентом к2 — £2 — £2 при неизвестном распределении. Считая переменную £ параметром, исследует корни этого полинома.
4.1. Ветви квадратного корня.
Выражение
при комплексных в общем случае значениях переменной £ определим так, как это сделано в лекции [40].
Пусть kj - вещественное положительное число. Чтобы выделить однозначную ветвь аналитической функции, проведем разрез комплексной плоскости, соединяющий точки ветвления —kj и kj по отрезку вещественной оси [—kj, kj}. Будем считать, что при извлечении корня из комплексного числа его аргумент просто делится пополам. Тогда, чтобы вычислить значение функции 7,(0> нужно определить значения аргументов сомножителей kj — £ и £ + kj = £ — (—kj).
Пусть на положительной мнимой полуоси функция 7,(0 принимает вещественные положительные значения, например 7,(г) = + 1, причем arg(kj — О =
— arg(£ + kj) € (—х/2,0). Следовательно, если £ лежит в верхней полуплоскости, то arg (kj - О 6 ( х, 0) и arg(£ + kj) € (0, х). Тогда arg7,-(0 € (-х/2, х/2), то есть значения функции лежат в правой полуплоскости. Точнее, функция 7j(£) отображает 1-й квадрант комплексной плоскости в 4-й квадрант, а 2-й квадрант - в 1-й.
Обозначим т+(£) предельное значение функции 7, (0 из верхней полуплоскости на вещественной оси. Так как arg7+(0 = х/2 ПРИ £ € (—00, —kj) и arg7+(0 = —х/2 при £ 6 (kj, +00), то
Аналогично, предельное значение из нижней полуплоскости на вещественной оси этой же ветви функции 7(
т,(о = [щ~? = yj&i-m+h)
£ Є (-00,-kj) : iyjt2 - к];
(4.2)
(e(kj,+ 00) : -г^О - к].
£ Є (—00, —kj) :
(4.3)
f Є (&,-,+ 00) : - к],