Локальные особенности в симплектических и контактных пространствах

• Автор: Закалюкин, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 174 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Особые лагранжевы и лежандровы многообразия
1Л. Об устойчивых лагранжевых многообразиях с оособенностями
1.2. Производящие идеалы особых лагранжевых подмногообразий
1.3. Лагранжевы особенности при симплектической редукции (
1.4. Особенности проекций изотропных подмногообразий
ГЛАВА 2. Особенности симметричных фронтов и каустик
2.1. Основные понятия и свойства симметричных
волновых фронтов и каустик
2.2. Устойчивость фронтов и симплектическая устойчивость каустик
2.3. Симметрия отражения в гиперплоскости
2.4. Фронты и каустики для некоторых групп Кокстера
2.5. Симметричные системы корней и геометрия фронтов...
ГЛАВА 3. Геометрия и топология каустик
3.1. Гиперповерхности, двойственные каустикам

3.2. Многообразия, двойственные каустикам и бифуркационным множествам проекций
3.3. Страт Максвелла лагранжева коллапса
3.4. Доказательство теоремы 3.3.2.
3.5. Класс гомологий бифуркационного множества
3.6. Бикасательные плоскости к кривой в К3
ГЛАВА 4. Особенности контакта с флагами
4.1. Простые особенности
4.2. Приложения к диаграммам отображений
4.3. Особенности контакта окружностей
с поверхностями и флаги
ГЛАВА 5. Приложения к теории управления
5.1. Огибающие семейств волновых фронтов
и теория управления
5.2. Особенности условного минимума
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В работе изучаются локальные особенности отображений, возникающих в симплектических и контактных пространствах.
Основное внимание уделено задачам, имеющим приложения в геометрии и теории дифференциальных уравнений.
Работа состоит из пяти глав.
Глава 1 посвящена теории особых лагранжевых и лежандровых подмногообразий.
Лагранжевы многообразия с особенностями встречаются во многих задачах дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, математической физики.
В работе Гивенталя [3] введено понятие устойчивости особого лагранжева ростка по отношению к возмущениям симплектической структуры и лагранжевой проекции. Здесь мы даем геометрическую интерпретацию этого условия для лагранжевых ростков, заданых производящими семействами. Такое семейство должно быть индуцировано из версальной деформации конечнократного росдка функци Оказывается ( теоремы 1.1.3 ) что условие устойчивости накладывает на индуцирующее отображение пространств параметров достаточно жесткие ограничения. Так например собственное аналитическое отображение, индуцирующе устойчивый особый росток из версальной деформации простой особенности с большим числом параметров является разветвленным накрытием некоторого страта бифуркационной диаграммы функций простой особенности. Таким образом, лагранжевы ростки, связанные с группами Коксетера, естественно возникают при класификации простых устойчивых регулярных индуцирований. Во вспомогательных разделах показано, что класс лагранжевых ростков, имеющих производящие семейства достаточно широк. Излагаются также некоторые геометрические свойства устойчивых ростков.
Известно, что морсовское производящее семейство лагранжева подмногообразия Л существует только если класс его класс Маслова нулевой. Для кривой, обходящей вокруг особой точки на раскрытом зонтике Уитни, который является примером устойчивого типичного, лагранжева
Заметим, что в различных прикладных задачах, таких как, например, задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби [9] или отражения систем оптических лучей на границе двух сред, возникают изотропные подмногообразия не общего положения. Предлагаемые конструкции ( но не результаты) могут быть использованы и в этом случае.
Производящие пары для изотропных подмногообразий
Пусть д = (^1 дп) - координаты в ГГ1, р = (рх,... ,рп) - сопряженные координаты в слоях Т*1Г и пусть (7П_А:,0) - росток (п — &)-мерного изотропного подмногообразия в 7" ГГ.
Определение. Производящей парой для (1п~к,0) назовем пару (Г,/), состоящую из гладкой функции Р : (ГГ71 х ГГ*,0) —■> (ГГ, 0) и ростка отображения / : (ГГ11 х ГГ1, 0) —» (ГГ*, 0) для некоторого целого т > 0 таких, что 7 = {(р, д)13.x 6 ГГ" : дР/дх = 0,/ = 0,р = дF/дq} и выполнено следующее условие (Морса): ранг дифференциала в нуле отображения д : (ГГ11 х ГГ^О) —» (ГГ71 х ГГ,0), д : (х,д) (дР/(Эд} максимален (то
есть равен т + к).
Пусть с - размерность ядра дифференциала изотропной проекции ростка (1п~к, 0).
Замечания.
1. Росток (7,0) имеет регулярную проекцию на некоторое координатное изотропное подпространство. С точностью до соответствующей перестановки индексов 1 п координаты Рх — (рх,... ,рт), т > си Ог = (<7т+г, • • ■, Чп~к определяют систему локальных координат на 7. Значения остальных координат О1 = (дх дт), Р2 = (рт+1, • • ■ ,Рп-к, Оз = {Яп-к+1, • • • , Яп), Рз = (Рт+ъ • ■ ■ : Рп-к) ОПреДвЛЯЮТ ГЛаДКИв фуНКЦИИ Qi, Р{ переменных 7х,<52- Условие изотропности влечет существование функции Ф на 7 такой, что 7Ф — Рхд(^х + Р-2сМ^2 + Р3сКд3. В таком случае функция О(Рх,01,(?2,<3з) = ®{Р-,Яг)--Р{Я1—Я)+Рз{СЗз—С}з), рассматриваемая как семейство функций от х = Рх с параметрами д = ((^х, <52, Оз) и отображение / : (ГГ71 х ГГ) —> (ГГ',0), / : (Рх,я) (Оз — Оз) образуют производящую пару для ростка (7,0).
2. Если т = с, тогда все функции ОъОз, будучи ограниченными на подпространство Ог ~ 0, имеют в нуле критическую точку. Более того, всякая производящая пара (/■',/) ростка (7П~^,0), при условии т