Неограниченные решения скалярных законов сохранения

• Автор: Лысухо, Полина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Великий Новгород
• Количество страниц: 78 с.

Содержание

Введение
1 О существовании и единственности неограниченных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка
1.1 Понятие энтропийного решения
1.2 Принцип сравнения и единственность
1.3 Теорема существования
2 Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка
2.1 Понятие ренормализованного энтропийного решения
2.2 Принцип сравнения и единственность р.э.р
2.3 Существование р.э.р
3 Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе периодических функций
3.1 Понятие периодического по пространственным переменным ренормализованного энтропийного решения
3.2 Принцип сравнения и единственность периодического ренормализованного энтропийного решения
3.3 Существование периодического р.э.р
Список использованных источников

Введение
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена изучению неограниченных решений квазилинейных уравнений первого порядка. Основу диссертации составляет исследование задачи Коши для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка
щ + div* tp(u) = 0, (1)
и = u(t, х), (t, х) £ ГК’ = (О, Т) х Жя, 0 < Т < +оо,
с начальным условием
и(0,х) =и0(х). (2)
Многие математические модели, возникающие в естествознании (например, в гидродинамике, в газовой динамике, в теории транспортных потоков и т.д) приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (1), так называемым законам сохранения. Конкретные модели, приводящие к уравнениям вида (1) можно найти, например, в [31]. Хорошо известно, что в случае ip(u) £ С1 (Ж”), щ(х) £ С1 (Ж") задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости t = 0 единственное гладкое решение. Однако, даже при бесконечно-дифференцируемых <р(и), щ(х) у решения задачи (1), (2) с ростом t могут появляться разрывы. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило, значительно превосходит время существования гладкого решения (некоторые оценки этого времени можно найти в работе [17] автора диссертации), то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко - о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределения ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно-оказываются неединственными. В связи с этим, одним из основных вопросов теории о.р. задачи (1), (2) является описание тех дополнительных условий на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для рассматриваемой задачи при различных предположениях о начальной функции щ(х) и вектор-функции потока <р(и). Приведем краткий обзор результатов по теории задачи (1), (2), в случае гладкой функции потока <р(и).

Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах прошлого века в работах Э. Хопфа, П. Лакса, О.А.Олейник, А.Н. Тихонова, А.А.Самарского, И.М. Гельфанда, O.A. Ладыженской, A.C. Калашникова, С.К. Годунова, Б.Л. Рождественского и других. Со времени опубликования фундаментальной работы ЭХопфа [41j основным методом исследования задачи Коши (1), (2) является метод “исчезающей вязкости”, который основан на идее предельного перехода при е —* 0 по решениям задачи Коши для параболического уравнения
щ + divjE ip(u) — eAu.
С помощью метода “исчезающей вязкости” можно не только-доказывать существование о.р., но и выявлять условия, обеспечивающие единственность этого решения ( о необходимости таких условий см. [23, 31] ). В 50-годах наиболее подробно изучался случай п = 1 с выпуклой функцией !-р{и). В работах [16, 23, 22, 32, 44] для этого случая построена теория о.р. задачи (1), (2) при произвольной ограниченной измеримой начальной функции щ(х). В работе [2] И.М. Гельфанд сформулировал условия допустимости и дал принципиальное решение задачи Римана о распаде разрыва для случая невыпуклой функции потока. Этот случай исследовался также в работах [6, 24]. В частности, в работе O.A. Олейник [24] (см. также [2]) было сформулировано условие единственности о.р. задачи Коши в классе кусочно-гладких функций. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах BV ( в пространстве функций ограниченной вариации ) исследованы в работах [1, 39, 15] ( наиболее полно - в [1] ). Общая теория этой задачи для уравнения
щ + div-E 1p(t, х, и) + ip(t, х, и)
в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н. Кружкова [8, 9, 10], где введено понятие обобщенного энтропийного решения (коротко - о.э.р.), естественно вытекающее из метода “исчезающей вязкости” (введение в теорию о.э.р. можно найти в пособиях [11, 4]). Приведем определение о.э.р. применительно к уравнению (1):
Определение 0.1. Ограниченная измеримая функция и = u(t,x) называется обобщенным энтропийным решением (коротко - о.э.р.) задачи Коши (1), (2), если:

Пт Пт
Так как в этом неравенстве / = /(4, а;) - произвольная неотрицательная пробная функция из Сд°(Пг), (2.2) означает, что выполнено соотношение (2.2). Положим
Ясно, ЧТО последовательность #г/(£) сходится поточечно при у-оок функции Хевисайда в1§Д1+(£)- Пусть N = тах |ф{и) | - константа Липшица векто-
и&[а,Ь]
ра 1р(и) на отрезке [а, Ь], Я > 1, д{Ь, х) = 01 (Л + ЛГ(Т — £) — |ж|). Ясно, что д,х) £ С'О0(Пг) (с учетом того, что 0 и дъ = -ЛГ|Уж£|.
Определим множество
Е = { t £ (0,Т) | /а, Ь € М. (4, ж) - точка Лебега
(в0>б(гф£,ж)) - 50>ь(Ж> ж)))+ ДЛЯ П.В.Ж £ 1 }.
Ясно, что Е С (О, Т) является множеством полной меры Лебега (с учетом того, что функция (о, 5) —* (вад(и)—5а>б())+ непрерывна равномерно по и, ц). Пусть (5о,И £ Е,Ц < П- Положим при м € N хЖ) = 0(£ — £о) — 0„(£ — £х). Заметим, что при м —> сю последовательность %„(/;) поточечно сходится к индикаторной функции Х0о,й](А) интервала (съН]- При достаточно большом г/ (именно, при г/ > (Т - )-1) функция /(£,ж) = д(£,ж)%у(£) € С£°(ПГ), 0 < /(£, ж) < 1. Из (2.2) тогда следует, что

[(5а,&(л) - 5а,ь('У))+((£ - £0) - - £1))5сг£(£ж+
J[(sa,ь(.u) - 8а1ь(у))+д1+

sign+('г - у)(1рь(и)) - (р(зауЬ(у)), Vхд)]Хи)<И(1х >
“Мь(Пд) — Да(П г). (2.23)
Так как
81яп+(п - щ)|<(ва1ь(г1)) - <р(ва)Ь(г;))| < Л/"(в0>6(и) - за>ь(г;))+