Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в плоских слоях

• Автор: Картошкина, Александра Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 131 с. : ил.

Глава 1. Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двуслойных смесей

1.1 Вспомогательные предположения

1.1.1 Преобразование Лапласа

1.1.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа и априорные оценки

1.2 Начально-краевая задача для поля скоростей

1.2.1 Постановка задачи. Интеграл энергии

1.2.2 Решение в изображениях по Лапласу

1.2.3 Линейное начальное поле скоростей

1.2.4 Решение для полуограниченных слоев

1.3 Автомодельное движение бинарных смесей

1.3.1 Постановка начально-краевой задачи

1.3.2 Представление решения
1.3.3 Асимптотическое поведение решения
1.3.4 Численное решение и выводы
1.4 Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей
1.4.1 Постановка начально-краевой задачи
1.4.2 Определение поля скоростей, возмущений температурных полей и концентрации
1.4.3 Выход решений на автомодельный режим
1.4.4 Стационарное решение
1.4.5 Асимптотическое поведение решения при £ —>■ оо
1.4.6 Результаты численного обращения преобразования Лапласа

Глава 2. Начально-краевые задачи для системы уравнений тер-модиффузионнго движения однослойных смесей
2.1 Об одном уравнении динамики вязкой жидкости
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Преобразование задачи и метод численного решения
2.1.3 Точное решение
2.2 Влияние динамики на термодиффузшо в плоском слое со свободными границами
2.2.1 Задача о движении плоского слоя
2.2.2 Молекулярный перенос тепла и примеси
2.2.3 Расчет поля температур
2.2.4 Учет термодиффузии
2.2.5 Конечно-разностный метод
2.3 О движении плоского слоя жидкости с двумя свободными границами под действием эффекта Соре
2.3.1 Решение специального вида
2.3.2 Преобразование исходной задачи (2.2.7)—(2.2.23)
2.3.3 Численное решение
2.4 О движении плоского слоя жидкости со свободной границей и твердой стенкой
2.4.1 Постановка задачи и решение специального вида
2.4.2 Стационарное течение
2.4.3 Безразмерная задача. Численное решение
Заключение
Список литература

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к пскласснчс-ским моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [39], микроконвекцни [42], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [16, 49). Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжаю, играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве “тестовых задач” для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.
Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [6]. Отметим также монографию [8], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гопи, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.
Данная работа посвящена изучению подмоделей модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных плоских слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными

Рис. 3: Профиль скоростей щ и щ при фиксированном
соответствии с асимптотиками (1.3.28). С уменьшением у функции быстрее выходят на асимптотический режим.
Согласно (1.3.11) знак постоянной С зависит от знака выражения &А + аег-Вц Именно, при ае^ + < 0 она положительна, а при
згА + гег^! > 0 — отрицательна. Если шА — -ато С = 0 и смеси находятся в покое — термокапиллярные силы уравновешиваются концентрационными силами на границе раздела у = 0.
Обсудим сначала асимптотическое поведение функций (возмущений)
и.](у, £), 7}(у, I) и К}{у,1) при больших £ и фиксированном у. При С > 0 (.А < |ае2|а— градиент температуры достаточно мал), согласно (1.3.28), смесь движется в отрицательном направлении оси х, а при С < О (.А > — в положительном (здесь термокапиллярные силы больше
концентрационных и смесь движется в сторону возрастания поверхностного натяжения). Во всех случаях абсолютные значения 2), растут как £2/2, согласно формулам (1.3.31)—(1.3.33).
Что касается асимптотического поведения при больших у и фиксированном t, то все функции щ(у,1), 2)(у,£), К](у,1) экспоненциально стремятся к нулю согласно формулам (1.3.37), (1.3.38), (1.3.40), (1.3.42),(1.3.44), (1.3.46).