Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка

• Автор: Кудаева, Залина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Глава I. Краевые задачи для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения
1.1. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
1.2. Теорема существования решения задачи Дирихле для модели
Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
1.3. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик одного семейства
1.4. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик разных семейств
1.5. Аналог задачи Геллерстедта для первого варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина
1.6. Аналог задачи Трикоми для второго варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина

Глава II. Краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка
2.1. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части
2.2. Принцип экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части
2.3. Краевая задача для класса линейных уравнений смешанного типа
2.4. Краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка
2.5. Краевая задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка
Заключение
Список литературы

Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука [4], и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака [10], [42].
Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эл-липтико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная задачей Трикоми по предложению Ф.И. Франкля [55]. Работа Ф. Трикоми [55] "О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923) явилась первым основопологающим исследованием в этой области.
Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа и ее прикладных аспектов сыграли работы A.B. Бицадзе [8], [9], С.П. Пулькина [45], М.С. Салахитдинова [48], [49], [50], [51], Т.Д. Джу-раева [12], [13], М.М. Смирнова [53], Е.И. Моисеева [31], А.П. Солдатова [54], O.A. Репина [47], А.М. Нахушева [38], [39], [40], [41], Т.Ш. Кальмено-ва [17], А.Н. Зарубина [14], А.Г. Кузьмина [28], A.C. Радойкова [46], О.И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [30].
Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа - краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка. Поясним важность и актуальность проведения теоретических разработок в этом на-

шением сопряженной задачи - функцию и Є Т2(Г2) для которой выполнено равенство (у,Ь*и)о = (/, «)о Уи Є 1У(В).
Основным результатом § 2.2 является
Теорема 2.3.1. Пусть коэффициенты уравнения (2.3.1) и кривые сг0 и о таковы, что существует хотя бы один вектор (а, (3, у) с компонентами
а Є С(П) П С2(П0і) П С2(П0) П С2(Щ,
/3,7 є С(П) П Сх(Поі) П С1 (По) П С1^), удовлетворяющий системе дифференциальных неравенств
д{рс) д(ус)
Ь*а + ас >

Ух є П,
к (тг — тг- — 2а ] + уА/ + 26а > О V z Є П,
V ду дх J
дв д'у —
тг тг—h 2у6 > 2а V z Є П,
аж а?
(S-f-2c*)+7*' + 2/J0

х(^-£-2а + »*)> ох ду )
условиям сопряжения
dß jßl т
— + к- /36
07/ ОЖ
(2.3.4)
(2.3.5)
(2.3.6)
Ух Є П, (2.3.7)
lim [ау(х, у) - ау(х, -у)} > 0, lim [к{у) - к{-у)}у(ж, 0) > 0, (2.3.8)
у->+о 2/—»+0
lim Оу(х, у) > lim ау(х, у), lim fc(y)y(®, 1) > lim %)у(ж, 1) (2.3.9)
З/—>1-1-0 3/—>1 — 0 )/—»1+0 3/—»1
и краевым условиям
(/?,y)n = ßxn + уг/„ < 0 Vz Є o0 ücti, (2.3.10)
ß + < О Уx є C0B0, (2.3.11)