Исследование спектра и собственных функций эллиптических операторов

• Автор: Губайдуллин, Марат Байназарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Свойства спектра и собственных функций оператора Шредингера в магнитном поле
§1. О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора Я

§2. Асимптотическое поведение собственной функции оператора Я

§3. Отсутствие положительных собственных значений у оператора Я

§4. Абсолютная непрерывность спектра оператора Я

Глава II. Свойства спектра и собственных функций эллиптического оператора

§5. Самосопряженность оператора Ь

§6. О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора Ь
§7. Асимптотическое поведение собственной функции оператора Ь
§8. Отсутствие положительных собственных значений у оператора Ь
§9. Абсолютная непрерывность спектра оператора Ь

Список литературы

Введение

Спектральная теория эллиптических операторов является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики и квантовой механики.
В настоящей диссертации изучаются операторы вида
где Рк,к = 1,п - операторы импульса (ограничения на параметры входящие в данные операторы см. ниже). Общим для операторов вида (0.1),(0.2) является то, что они в качестве исходного или, если угодно, модельного оператора имеют оператор Шредингера
где Д - оператор Лапласа. Данный оператор играет исключительно важную роль в квантовой механике. Изучению его собственных функций и спектра посвящено большое количество работ. В частности, эспоненциаль-ное убывание на бесконечности собственных функций многомерного оператора Шредингера с полуограниченным снизу потенциалом впервые доказал И. Э. Шноль [8], результаты которого затем уточнялись в работах Б. Саймона [18].
Далее, одной из основных задач квантовой теории рассеяния является задача доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера. Отсутствие положительных собственных значений уравнения

Н — у, (рк + а-к)2 + V,
(0.1)

(0.2)
-Д + У,
ДС/ + хи = о

в одном классе бесконечных звездных областей методом априорных оценок доказал Ф. Реллих [22]. В работе [15] Т. Като развил технику априорных оценок для доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера в L2(Rn), потенциал которого подчинен условию lim xV(x) — 0. В дальнейшем, пользуясь своим методом ”взве-
|х| —»СЮ
шенных” оценок, С. Агмон в работах [9],[10] доказал отсутствие сингулярно непрерывного спектра оператора Шредингера в L2(Rn) с неограниченным потенциалом вида V(x) = (1 + |x|)_sW(x), где s > 1, а функция W Д-компактна в L2(Rn) (условие s > 1 лежит в основе метода Агмона). Аналогичный результат другим методом установил В. Энсс в классе потенциалов V(x) — f(x)W(x), где /(г) > 0 - суммируемая монотонная функция [11],[12]. Наконец, Мурр в своей работе [17] (см. также [7]) развил метод, применимый к большому классу операторов, и использующий коммутаторную оценку для доказательства отсутствия сингулярно непрерывного спектра.
Со спектральным анализом тесно связан вопрос о единственности продолжения решения уравнения Шредингера. Теоремы единственности в L2(R2) впервые были доказаны Т. Карлеманом [23]. Аналогичные теоремы L2(R") при п > 2 получены С. Мюллером [20]. В дальнейшем эта задача для неограниченных потенциалов изучалась Е. Хайнцем [21].
В работах Р. Фрёзе [13],[14] (см. также [7], теорема 4.18.), при довольно жестком условии, что почти всюду существует производная по радиальной переменной от функции V(x), а А-ограничен с Д-гранью меньшей
2 доказывается, что собственные функции оператора Шредингера не могут убывать быстрее, чем е5^ при любом 5 > 0. Более точные результаты получены в монографии [5] X. X. Муртазина и В. А. Садовничего. В теореме 2.1. данной монографии доказано, что если V{x) = (1 + |m|)—1VPr(m), где W(x)A-ограничен и при размерности конфигурационного пространства п > 4 дополнительно удовлетворяет неким предельным соотношениям (см. ниже),
Из пунктов а) - з) следует равенство (1.23). <
Лемма 1.9. Для всех т, Я достаточно больших
£ ИААпШг < с (гог||ф„||12 + ЖМк + 1Ы!1) . (1.25)
V т т )
Доказательство. Перепишем соотношение (1.23) в виде (2т + 1)||Ф^||2 + £ \ОкФт\12 + (52Фт,Фга) + А||Фт||

(гг — 1) т(т + 2)
||Фт||—2 + £ (Ш'к + Ь'МФт, Фт) +
+2 ^2(гЬкЬкФт, Фт) - 2Яе{гУФт, Ф(„) + 2Ие(г^т, Ф^) = 0, (1.26)

и оценим сверху каждое слагаемое в правой части этого равенства. Очевидно, что
(п-_1) + т(т + 2)) ||фт||,2 £ Сга2||Ф„||і2,
для всех т достаточно больших. Далее, из соотношений (1.5), (1.6) и условия (ііі) теоремы 1.2. вытекает, что
Д IгЬ'к = Дт Ьк =0, к = Т~п,
и следовательно