Краевые задачи с интегральными и локальными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся в одной точке

• Автор: Васильева, Ольга Альбертовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 96 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Задачи с интегральными условиями с переменными и постоянными пределами для одного уравнения гиперболического
типа в ограниченных областях

Глава II. Задачи с интегральными локальными условиями для одного уравнения гиперболического типа в неограниченных
областях

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Теория дифференциальных уравнений с частными производными начала развиваться в 20-е годы нашего столетия и до настоящего времени считается одной из наиболее ценных областей математики в смысле практического применения. Говоря о практической значимости этой теории, можно, в частности, сказать о магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука, о течениях жидкости в открытом русле, задачах механики сплошных сред, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, о теории плотности и о многих других вопросах. Более подробно об этом упоминается в работах Ф.Трикоми [43], Л.Берса [3], Ф.И.Франкля [46], А.М.Нахушева [33] и др.
Новейшие исследования в теории естествознания приводят к необходимости более глубокого и полного изучения некоторых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.
О важности рассмотрения новых задач говорил A.A. Самарский в работе [40], где приведены примеры математических интерпретаций задач, подготовленных при изучении реальных физических процессов.
Очень важное значение при практическом применении имеет уравнение
тт Ь гг а тт С тт л

х-у х-у r (х-у)1
Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером при а = b — m, с = п, m,n е N при изучении движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения при указанных параметрах, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же в статье [39] было показано, что точное уравнение адиабатического и обратного движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во
всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению (1) при указанных значениях параметров.
В разработке теории этого уравнения принимали участие Пуассон [35] и Дарбу [21], поэтому его принято называть уравнением Эйлера-Пуаесона-Дарбу.
Большая практическая ценность способствует развитию теории уравнения (1).
Среди работ, посвященных исследованию этого уравнения, следует отметить работы А.М.Нахушева [32], работу В.Ф.Волкодавова и
Н.Я.Николаева [11], учебное пособие В.Ф.Волкодавова и Н.Я.Николаева
[12], работы В.Н. Захарова [22], [23], В.В. Пергунова [34], Е.И.Томиной
[13], [41],О.В. Юсуповой [13], [47], [48], О.К.Быстровой [6], [7] и др.
Однако поскольку многие уравнения смешанного типа в областях гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка и т.д.), то вышеописанные работы не охватывают всей полноты исследований, проведенных по данной теме. Тем не менее укажем, наиболее значимые работы.
В 1993 г. была опубликована статья [14], в которой дано доказательство существования и единственности решения задач Е, N, С+, Е_, Е+,N_, Л'+ для уравнения колебания струны, изучаются новые принципы локального экстремума, а также поставлены новые краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказаны теоремы единственности решения этих задач.
В 1994 г. в Киеве выходят в свет статьи [1] и [44]. Автором первой из них рассматривается уравнение

+ 11хР*х.у)-Р

х-уУ+/? (
у Я1 + Д1.2 + Д1
1 + /3 2х
2Р~Х рхр(х-уУр-1 | (х-я)Л»

1 + Д1;2 + Д 2'

х-У] | я* Т(я)с1$ +

X — 5 Х~.У
х х->>

(1.2.10)
-2 (х-д/Г

1- I 1
1 2х У
+ 2 Рухр-х-уУр-х

I рЫ-рь + рх
Х-8 Х

(х - 8)8ГТУ)с18

Теперь найдем—17 (х, у)
При вычислении данной производной используем формулу

уРУ(ос,У,У;у,х,у)= Р'ур хРх(а,У,У+;у,х,у)
(1 - (3)2
-и_(х,у) = -г(-у)(-уУ
ду 2

041)2 Р-'р 2Р-
+ 2У±(х_ууМх