Интегральные представления и качественные свойства решений функционально-дифференциальных параболических уравнений

• Автор: Муравник, Андрей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 231 с.

Оглавление
1 Введение
2 Уравнения с нелокальными младшими членами
2.1 Определение фундаментального решения в случае
одной пространственной переменной
2.2 Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
2.3 Решение задачи Коши
2.4 Многомерный случай
2.5 Единственность решения
2.6 Асимптотические свойства решения
2.7 О смысле условия положительной определенности
3 Уравнения с нелокальными старшими членами
3.1 Случай факторизуемого фундаментального решения
3.2 Существование и единственность решения задачи

3.3 Поведение решения при і —> оо
3.4 Случай нескольких пространственных переменных
3.5 Стабилизация решения в случае нескольких пространственных переменных
3.6 Общий случай неоднородного эллиптического оператора
3.7 Общий случай нефакторизуемого фундаментального решения

4 Сингулярные интегродифференциальные уравнения
4.1 Основные определения и обозначения
4.2 Фундаментальное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения
4.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями
4.4 Решение неклассической задачи Коши
4.5 Случай неоднородного уравнения
5 Сингулярные функционально-дифференциальные
уравнения
5.1 Постановка задачи
5.2 Фундаментальное решение сингулярного функционально-дифференциального уравнения
5.3 Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями
5.4 Решение неклассической задачи Коши для сингулярного функционально-дифференциального уравнения
5.5 Случай неоднородного сингулярного уравнения
5.6 Единственность решения сингулярной задачи
5.7 Асимптотика решения сингулярной задачи
Литература

Часть
Введение
В диссертации исследуется задача Коши для параболических функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, которые содержат, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига (обобщенного сдвига), действующие по пространственным переменным. Эта задача принадлежит к классу нелокальных задач, изучение которых было начато еще в классических работах Я.Д.Тамаркина, М.Пиконэ и Т.Карлемана. Дальнейшее свое развитие теория функционально-дифференциальных (в частности, дифференциально-разностных) уравнений получила в трудах А.Д.Мышкиса, а впоследствии она глубоко и интенсивно развивалась многими математиками (см. монографии [1,65,78] и имеющуюся там библиографию, а также цикл работ [3-7], посвященный теории функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах). Общая теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) разрабатывалась в [49,60-63,68-70,72,73,76-79,83].
Указанные задачи имеют важные приложения, такие как теория многослойных пластин и оболочек (см. [48,78]), теория диффузионных процессов, включая биоматематические приложения (см. [77,83]), модели нелинейной оптики (см. [62,75,79-82]).

Таким образом, функция £(п) формально удовлетворяет уравнению (2.7).
Проверим законность формального дифференцирования.

Ql+т р t{ akcosbkh-£-£2)
є к= х
dtfdx1... дх%п
v—■ 1 К Е ак cosbuh-^—|£|2)
cos(a; ■ f - t ^ a*sinhh • £) < P(£)e fc=

где P(£) - полином степени, не превосходящей т + 21 (здесь т = mi + • • • + тп + 21 - длина мультииндекса), значит,

д1+т г *(Ё 4c°sbkh<-£2)
е к=1 х
dtfdx?1... дху*
cos(:c • £ — t ^2 dkSmbkh ■ £) < А|£|'т1+2ге

Далее,

I^H+^eS1^1 l?l ]td£ = Се& [ rH+2l+n-le-tr2dr =
СГ{т±п + і g — LPk=і

следовательно, интеграл, полученный после формального дифференцирования функции £(п), для любых іо,Т Є (0,+оо) сходится абсолютно и равномерно по (х, £) Є Мпх[£0,Т]. Поэтому £(п)(ж,£), определенная равенством (2.8), бесконечно дифференцируема в Кпх(0, +оо) и удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.7).
Теперь исследуем поведение функции Т(п)(ж,£) и ее производных при |х| —> оо. Прежде всего, без ограничения общности можно считать, что т = ,а = 1, а вектор Ъ1г переобозначить