Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса

• Автор: Кузнецов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 130 с.

Содержание
Введение
1 Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с производной Яу манна
1.1 Введение
1.2 Обозначения и необходимые факты
1.2.1 Вспомогательные обозначения
1.2.2 Определения используемых пространств
1.3 Постановка задачи для случая с производной Яуманна
1.4 Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19)
1.5 Существование оптимального решения для случая с производной Яуманна
2 О плотности множества правых частей начально-краевой задачи для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи
2.2.1 Исходная задача и формулировка основного результата работы
2.2.2 Аппроксимационная задача
2.3 Операторная трактовка задачи
2.3.1 Линейный оператор
2.3.2 Операторы К и /С
2.3.3 Оператор Z
2.3.4 Оператор ф
2.4 Аппрокимационные уравнения. Априорные оценки
2.5 Разрешимость для плотного множества правых частей
3 Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с полной производной
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов
3.3 О продолжении управления внутрь области
3.4 Вспомогательные задачи
3.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса и его
оценка
3.6 Существование оптимального решения
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.
Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.
Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.
Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наибо-
Доказательство. Используя интегральное неравенство Минковского и то, что Я2(Г2) вложено в (П) непрерывно в силу теоремы вложения Соболева, получим, что
ч 1/4
|1М«)1к = ( /п 1Ми)1 вх
) -Ш£
дуг ду3
дх2 дх

2ч 1/2

+ (Е
ь/=1 2чу 1/2 4 1/4

с/г4
2 1/2 4 ч 1/4
с1х )

2 4/2 ч 1/4 с1х |
4 ч 1/4 с?ж <
<*Ё(
<Эг>г
дх3-
4 ч 1/4 п
йх I 2

<9г
ь4( п)

< 2С,54||'г;||я2(п)’>- (1-4.52)
Из этого следует, что:
|(до(т, Уи)-£1о(тт, Уи),Ф)| = I [ [(т — тт)У(у)—УУ(у)(т — тт)) : Фс1х <
./12
<2/ |г-гт||>У(и)||Ф|с?ж < 2 [ т-тт2йх ( [ У?(у)2Ф2с1х) <
Ун ап / агг
< 2||г - Ттп||£а||У(«)||£4||Ф||£4 4Си||т - ГшЦЦиЦпЦФЦя!-
(1.4.53)
Если тг — 2, то в силу неравенства Гальярдо-Ниренберга с в = 3/4
/ 3/4
Е ис“”1и((!.)«с||»||й0). Е иик«»
И=1 |а:|=2 У
Поэтому, в силу непрерывности вложения IV С С([0, Т]; Н) справедливо, что рТ / 8/3 РТ / ч
Чи4(п)"
рТ / 8/3 ГТ /
/ (X) 1111-ад") < с8/3 / |М|П)„ ( X] НЧкдп)«) <й <
70 |а|=1 4 У° |а|=2 '
с1с8ДМ1