Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа

• Автор: Бозиев, Олег Людинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Существование и единственность решений смешанных задач для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка
§ 1. Априорная оценка решения смешанной задачи для нагруженного
волнового уравнения
§ 2. Существование обобщенного решения смешанной задачи для
нагруженного волнового уравнения
§ 3. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для нагруженного уравнения, возникающего в теории оптимального управления. 23 § 4. Существование обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25)
прир = 3 ир
§ 5. Единственность обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25 )
Глава II. Приближённое решение нелинейного гиперболического уравнения методом редукции к нагруженному уравнению
§ 1. Уравнения неустановившегося движения воды в трубопроводе
§ 2. Редукция задачи (2.3) - (2.5) к смешанной задаче для нагруженного
уравнения второго порядка
§ 3. Решение задачи неустановившегося движения жидкости в трубе
§ 4. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для
нагруженного однородного уравнения
§ 5. Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для
нагруженного однородного уравнения
§ 6. Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.
К первым работам, касающихся нагруженных интегральных уравнений, следует отнести работы Kneser А.[93],[94], Lichtenstein L.[95], Гюнтера
Н.М.[21], Назарова Н.Н.[54].
Термин “нагруженное уравнение”, впервые появился в работах Кнезера [93], [94] применительно к интегральным уравнениям. Определение
нагруженного интегрального уравнения, данное Кнезером, приведено в книге
В.И.Смирнова [68].
Метод исследования нагруженных интегральных уравнений был также предложен Н.М.Гюнтером [21].
Общее определение нагруженных уравнений дано А.М. Нахушевым в работе [55]:
Определение 0.1. Пусть С1- п-мерная область евклидова пространства Я" точек х = (х/, хп). Заданное в области Q дифференциальное, интегро-днфференциалъное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит некоторые операции от следа искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию Q многообразиях размерности меньше п.
Определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [58, с.90, с.94].
В качестве важнейших примеров нагруженных дифференциальных уравнений можно привести односкоростное уравнение переноса с изотропным рассеянием
или уравнение, описывающее распределение давления почвенной влаги, поглощаемой корнями растений
Среди начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений, относящихся к классу нагруженных, наиболее исследованы задачи для гиперболического уравнения Кирхгофа вида
возникающие при изучении проникновения электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры ([20],
и его обобщений (см., например, [1],[8],[61],[79],[80],[81],[83],[103],[104], [105]), а также задачи для параболического уравнения вида
[22],[23],[24],[25],[43]).
Менее изучены задачи для дифференциальных уравнений вида
после интегрирования которого в границах от 0 до і получаем
|(2+2)+ 2/КС с1хск + 2\иЛ,аЛиХу<ГсЬсШ

|(г,2(х,0)4 ’](х,0))с1х.
Вновь замечаем, что

Р»п = |(г’/2 (*>°)+г;2 (л,0))& = {((у„, - уп У+(<р',„ - ф'п )2 К -> О

при т, п —> со.
Для перехода к неравенству опустим второе слагаемое в левой части, а третье перенесем в правую часть и оценим по модулю:
){у;+у2х)сіх <
< 2 пни
"414,0 11 '414

Л + Д„,„.

(1.41)
Рассмотрим отдельно первый сомножитель под знаком интеграла в правой части. Применяя к нему элементарные преобразования, имеем
II"« Пт II"« її.«
1 1 \ит 4<7х- [|ый|4йЬс = [(м,„ 4 ~ К ґ)56
0 0 1 о

|2 і |2 I і 12 і і
— и +
1 1 /? 1 I т | | п |
Рпг +
2 і [2
11 т +К
(1.42)
СІХ.
К каждому из слагаемых ит , |м„| применим полученную ранее оценку
(1.37) и продолжим (1.42) вновь используя неравенства Стеклова, (1.29) и
(1.37). в результате получим