Исследование начально-краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в области с изменяемой границей

• Автор: Тирских, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Задача о погружении через поверхность тяжелой жидкости контуров
1.1 Постановка задачи. Асимптотический алгоритм. Характерная линейная задача
1.2 Метод Фурье решения задачи
1.3 Модельные расчеты
1.4 Влияние сил поверхностного натяжения на волны при погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости
2 Линейная задача о нестационарном движении симметричных контуров, пересекающих свободную поверхность тяжелой жидкости
2.1 Нестационарное движение источника под свободной поверхностью тяжелой жидкости
2.2 Редукция задачи о погружении контуров к интегральному уравнению
2.3 Задача о погружении контуров с малой килевагостью .
2.4 Задача о погружении контуров с большой килеватостью
3 Удар и несимметричное погружение плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой жидкости
Заключение
Список литературы

Введение
Первые теоретические работы об ударе и проникании тел в жидкость относятся к 30-м годам. Фундаментальные результаты в данной области, ставшие классическими, получены Н.Е.Кочиным [1]-[4], М.В.Келдышем , М.А.Лаврентьевым [5], Ю.С.Чаплыгиным [б, 7],
А.А.Костюковым [8], А.Н.Сретенским [9]-[11], М.Д.Хаскиндом [12], Л.И.Седовым [13]-[14], Г.В.Логвиновичем [15] и др. Наиболее интенсивное развитие теория получила в последние два десятилетия. Известны две задачи Вагнера: задача о погружении с постоянной скоростью через свободную поверхность идеальной (невязкой, невесомой, несжимаемой) жидкости клина [15, 16] и задача ”о порыве” в теории нестационарного движения крыла (’’порыв” - это скачкообразное изменение скорости движения или угла атаки крыла). В диссертации рассматриваются задачи близкие к первому типу задачи Вагнера.
В механике жидкости и газа существует обширный класс задач, в которых рассматриваются различные случаи проникания тел через границу сплошной среды [17].
Методы решения отмеченных выше задач можно разделить на три группы:
1) методы теории функции комплексного переменного [20] - [23],[12, 26];
2) методы Фурье и связанные с ними методы граничных интегральных уравнений [18, 19]; [46] - [50]
3) численные методы.
В настоящей работе исследования ведутся с использованием методов второй группы.
Исходная нелинейная задача в пространстве вызванных скоростей

(р имеет вид
L>p = 0 j £ fi,
(0.1)
B

где L - линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, В - в общем случае нелинейный дифференциальный оператор граничных условий, F - возмущающая функция. Предполагается, что функции, заданные на свободной поверхности и контуре, достаточно гладкие. Если поверхность S гладкая в смысле Ляпунова, то решение задачи (0Л) существует и единственно в классе аналитических функций (классическое решение) и любое обобщенное решение также будет классическим [27] - [31], [32, 35].
В неклассических случаях, когда граница (50) не гладкая, существует обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) отличное от классического [33, 34, 36].
Пусть О - область в п - мерном евклидовом пространстве Яп. <90 -граница и О - замыкание области О. Допустим, что на (п — 1) - мерном многообразии 50 выделено замкнутое (п — 2) - мерное подмножество £, такое что в окрестности каждой точки из С область О диффеоморф-на п - мерному двугранному углу. Граница 50 и ее .подмножество С в общем случае состоит из частей 50 = lJ/ 0 - объединение шаров с центрами в до € С, таких что для любого до € ilp j д — до ] < р и Пр = Ор U 50р - замыкание области Ор. Пересечение 50 Г] 50р выделяет на поверхности 50 части Sppm, образующие ребро С. Пересечение 50fl50p порождает два многообразия CrhcP — 50pmf|50p. В соответствии с этим можно разделить общую задачу (0.1) на две части. Одну для области с гладкой траншей (O'), и другую - для области, имеющей три непересекаюгцих-ся ребра (Ops): кромка С поверхности Sp с углом а = 2тг и два ребра лугп с уГЛами аРт = 7г/2.
Ь<р° = 0 д<= О',
(0.2)
А)/ = / 9 £ А

без учета поверхностного натяжения за первые два периода колебаний, на рис.11 представлена форма свободной поверхности и ее рельеф для области в первую секунду начала движения в сторону положительных значений оси х со скоростью Ц) = 1. На рис. 12 та же область движется, поверхностное натяжение учитывается (¥ — 0,2).