Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

• Автор: Сафин, Эльдар Маратович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Краевые задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени
§1.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода
§1.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода
§1.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода
Глава 2. Обратные задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени
§2.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода
§2.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода
§2.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода
Библиографический список

Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [100], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".
В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного тина занимались Ф.И. Франкль [90, 91], A.B. Бицадзе [9], К.И. Бабенко [2], S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter [103], C.S. Morawetz [102], J.R. Cannon [98, 99], JI. Берс [6], В.Ф. Волкодавов [13], В.H. Врагов [14], Т.Д. Джураев [19, 20], В.А. Елеев [21], В.И. Жегалов [24], А.Н. Зарубин [22], И.Л. Кароль [33], А.И. Кожанов [34], Ю.М. Крикунов [38], А.Г. Кузьмин [39, 40], O.A. Ладыженская [43], М.Е. Лернер [44], Е.И. Моисеев [45], А.М. Нахушев [47, 48],

Н.Б. Плещинский [49], С.П. Пулькин [53], JI.C. Пулькина [54], O.A. Репин [58], К.Б. Сабитов [61], [63] - [66], М.С. Салахитдинов [71], М.М. Смирнов [80], А.П. Солдатов [82, 83], P.C. Хайруллин [93], Хе Кан Чер [96], М.М. Хачев [94, 95] и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [15]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [84], Я.С. Уфлянд [88], J1.A. Золина [23] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений
а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :
Здесь Ь, С - самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; Я, Сг - сопротивление и емкость второго участка. Если из системы
(0.1)
при начальных и граничных условиях:
^ 11=() ^ I i=o U^ t=0 0;
tfiLo = £(0. Hm Uh = О,
Ulx=1 ^2x=V ^1 x=l Mx=Г
Доказательство. Проинтегрируем по частям четыре раза в интегралах из формул (1.20) и (1.21). Тогда с учетом условий леммы, получим
<рк = у/2 J ip(x) sin nkxdx =
т у/2 Г
—-г<р(х) cos 7гкх\ Н — / ipf(x) cos 7xkxdx =
7г/с 7Г/с J
^ ip'(x)simrkx10 - 2 J ч"(ж)

(7rfc)2 ' 7 'и (тг^)'
v/2 ,! л/2 f Ш{ Л
лр (х) cos7rA;a;|o g / 93 (ж) cos
(7Г/С j J
sin nkxdx —
(irk) (nk/
1<р'"(х) sin7rA:a:|J 4—-r [ 7vkxdx =

(nk)4r K w (тгк/у v' 7Г4 fc
Аналогично имеем

1 V’fc
7Г4 fc
По условию функции <^7V^(:r), ^IVx) непрерывны на [0,1], тогда из теории
оо , , 2 оо (.s
рядов Фурье известно, что ряды Y. m > /У I 'к I сходятся и справедливы
к=1 &=
неравенства Бесселя (1.65). ■
Теперь перейдем к обоснованию сходимости рядов (1.61) и (1.62) и допустимости почленного дифференцирования. Формально из (1.61) почленным дифференцированием составим ряды:

Ut(x, t) — л/2 и'кУ) sin7rfcc, (1.66)

(x,t) = kuk(t) cos 7гkXj (1-67)

uu(x,t) — л/'2'^2 u'^.(t) sin тткх, t< 0, (1.68)