Краевые задачи для пространственных аналогов уравнения Эйлера-Дарбу

• Автор: Бушков, Станислав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 119 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Задача Дарбу
1. Постановка задачи
2. Случай О <а <
2.1. Построение общего решения
2.2. Решение вспомогательной задачи в области Д
2.3. Решение вспомогательной задачи в области Д
2.4. Существование и единственность решения задачи Дарбу
3. Случай - 1 <а <0
3.1. Решение вспомогательной задачи в области Д
3.2. Решение вспомогательной задачи в области Д
3.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу
4. Случай -а- л, п - 1,2,
4.1. Решение вспомогательной задачи в области Д
4.2. Решение вспомогательной задачи в области Д
4.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу
5. Случай ~а = п + у, 0 <у < 1, п = 1,2,
5.1. Решение вспомогательной задачи в области Д
5.2. Решение вспомогательной задачи в области /7
5.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу
6. Случай п<а< п + 1, и = 1,2
Глава 2. Задача Л2
1. Постановка задачи
2. Случай - 1 <а <0
2.1. Решение вспомогательной задачи в области Д

2.2. Решение вспомогательной задачи в области
2.3. Существование и единственность решения задачи &2
3. Случай 0 <а <
4. Случай - а = п, я = 1, 2,
5. Случай -а = п + р, п = 1,2,.0< р <1
6. Случай п<а< п +1, п = 1, 2
Глава 3. Решение видоизмененной задачи Коши методом Рима-

1. Случай 0 <у <
2. Случай -1 <у <0
Литература
Введение
В теории уравнений с частными производными уделяется большое внимание изучению вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений, важных как в теоретическом плане, так и с точки зрения практического приложения их в современной физике и технике.
Первые работы по постановке краевых задач для пространственных уравнений смешанного типа второго порядка были опубликованы в 1956 году [1, 33].
В работе А.В. Бицадзе [1] для уравнения Л17 + 17„ = 0, где Л
- оператор Лапласа по пространственным координатам х/,х2
В работе С.П. Пулькина [33] рассматривалась краевая задача для уравнения 17ш + иуу + г 17гг = 0 в области вращения. Задача решалась методом тригонометрических рядов, при этом, отыскание коэффициентов ряда сводилось к решению краевых задач для плоского уравнения 17 + зупу 17п.+их(2т + 1)/х = 0 (т=0, 1, 2, ...), которое теперь называют уравнением С.П. Пулькина.
В работе [2], опубликованной в 1962 году, А.В. Бицадзе впервые исследовал задачу Трикоми для трёхмерного уравнения в неограниченной цилиндрической области. Задача решена методом интеграла Фурье. Таким образом, наметились две постановки краевых задач для пространственного уравнения: в области вращения и в бесконечной цилиндрической области.
Заметим, что и А.В. Бицадзе и С.П. Пулькин обосновывали существование и единственность решения краевых задач для модельных

Слева интегрируем полную производную, справа интегрируем по частям, полагая и = (у - г)7-“. Получаем
1 (/ Л/-П „/ .ОР'

~т/}1'Ъ-У'<-Г "‘Л-Заметим, что первое слагаемое при подстановках обращается в нуль, и тогда это тождество перепишется в виде:
Ф + у,у) = г. сФ + - ()~ал.
В1 -а,а) о
Учитывая, что
Ф + С г) = ~ Ґч>4 (£, -Ф + г1 - ЛI + (§, 1 с%,
* г г
будем иметь
Ф + У,у)
* 2В(/-а а) I + +
После изменения порядка интегрирования получим
Ф + у,у)
= 7д//- л I ]{г + і-£у-,(у-ґ)-аЛ.
£51 ОСОС) 2 %-г
Внутренний интеграл после замены Г = у -(у + г-%)р будет равен
В(1 - а,а), и тогда тождество перепишется в виде:
/ г+у 1 г+у
ф + у,у)=- (р4,г)сИ;+
Л г г
= <рЛ* + у, *)+¥Лг+у, 2У
Возвращаясь к прежним обозначениям, т.е. полагая г = х - у, получим