Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением

• Автор: Богатова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Периодические решения системы дифференциальных

уравнений с малым постоянным отклонением

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Разбиение пространства на конечную сумму подпространств в случае А)

§ 3. Разбиение пространства на конечную сумму подпространств в случае В)

Глава 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений

§ 1. Существование ненулевых решений нелинейной системы уравнений в особом случае

§ 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений общего вида

Глава 3. Влияние малого отклонения на существование ненулевых решений нелинейной системы уравнений
§ 1. Поиск ненулевых решений нелинейной системы уравнений
§ 2. Метод разбиения пространства в прикладных задачах
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. В данной работе изучается система дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением, постоянными матрицами системы линейного приближения и нелинейной вектор-функцией, периодической по независимой переменной и содержащей параметр. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений системы в окрестности.
Вопрос о периодических решениях систем дифференциальных уравнений с запаздыванием имеет большое значение не только в качественной теории дифференциальных уравнений, но и в прикладной математике. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом широко применяются в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, лазерной технологии, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, в экологии, иммунологии, ряде биофизических проблем и многих других. Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают процессы с последействием. Последействие, например, в эволюционирующей системе сказывается в том, что ее состояние в любой момент времени влияет на характер эволюции этой системы не только в тот же момент времени, но и в последующие. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием. Технологические и конструктивные усовершенствования требуют учета

явлений последействия и в традиционных областях техники [7-8, 16-17, 24, 34-35, 41-42, 55-56, 63, 88-91, 93-96].
Разнообразие и сложность получаемых математических моделей - систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, являются причиной отсутствия общих методов разрешения таких систем. В частности, недостаточно изучена проблема существования периодических решений, когда отклонение постоянно и находится в окрестности нуля. Поэтому тема диссертации, посвященной отысканию условий существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с малым постоянным отклонением, актуальна.
Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида
х(/) = Мх(()+ Мх(/ - т) + /(/, х(/), х(/ - г), Я), (0.1)
где N - (кхк)- матрица, М- (kx.dk)- матрица, г - малое отклонение, ге^,||г||<X)- вектор-функция, непрерывная по всем переменным и 2л-периодическая по /, /(о,одя)=о для любого Я.
В данной работе ставится задача поиска условий существования ненулевых 2я--периодических решений системы (0.1).
Методика исследования. Ненулевое 2л-периодическое решение системы (0.1) отыскивается в виде тригонометрического ряда. Пространство тригонометрических рядов разбивается на прямую сумму двух подпространств с помощью собственных элементов некоторого линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению. Проблема нахождения периодических решений системы (0.1) сводится к задаче разрешимости недифференциальной системы уравне-

отображений, в силу полноты пространства 0 и замкнутости множества Т, в шаре Т существует единственный элемент г, для которого 5(а)г = г. Теорема доказана.
Обозначим | = (<*!,..., 4к~г) ■ Систему (1.20) запишем в виде
Лемма 1.5. Для любого вектора хє£> выполняется соотношение
фх)=о.
Доказательство. Воспользуемся представлением х в виде равенства X = Рх + ахку +... + ак_гИк,г И получим
Так как - собственные элементы оператора В, соответствующие собственному числу щ=0, то ДА, = щк, = 0, і = Тогда,
учитывая лемму 1.1 и то, что РВх є б0, равенство (1.33) примет вид фх) = |(дРх) = 4{РВх) = 0.
Лемма доказана.
Согласно лемме 1.5, система (1.32) равносильна системе 4(С{г,Рх + ах А, +... + ак_г_г, Рх({ -т)+ах А, +... + ак_г Ик_г, Х) + и{^,Рх + а1Ъ1+... + ак_гЬк_г, Рх(/-г) + а,А, +... + ак_гЪк_г, Л.) +
+ ф(Длг + а1А1 + ... + а4_гА4_г,т)) = 0,
5(С(?,Дх + а,А, + ... + ак_гкк„г, Лс^-т^+аД +... + а*_гй*_„ А) + + Д(г,Рх + а[А, + ... + ак^гИк_г, Рх(ґ-т)+а,А[ +...■¥ак_гНк_г, А) + + ф(Рх + «] А] +... + ак__гЪк_г, г)) = -£(Дх).
(1.32)
£(#*) = + й(а,А1 + ... + ак_г1гк_г))
(1.33)

4(С{(,Рх + ахИх +... + а*_гА4_г, Дх(?-г) + «,А, + ... + ак_гИк_г, Л)--С(?,а,А, + ... + а*_гА*_,, Л)+С(і,ахк1 +... + ак_гИк_г, Л)+
+ £>(/,Дх + а1А1 +... + ак_гЬк_г, Дх(/-г)+«|А, + ... + ак_гЬк_г, Л)+ + ф(Рх + щИу + ... + ак_гкк_г,т)) = 0 .
(1.34)