Особенности локальной управляемости семейств полисистем на поверхностях

• Автор: Комаров, Михаил Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
Введение
1. Локальная управляемость в типичных двупараметриче-ских семействах 2-систем на плоскости
1.1. Классификация случаев локальной управляемости
1.1.1. Основная теорема
1.1.2. Доказательства вспомогательных утверждений
1.1.3. Локальная управляемость за малое время
1.2. Бифуркации локальной управляемости:
неособый случай
1.3. Локальная управляемость вблизи точки, особой для обоих полей
2. Локальная управляемость в типичных однопараметрических семействах полисистем на плоскости
2.1. Классификация случаев локальной управляемости полисистем в точке, неособой для каждого из полей
2.2. Классификация случаев локальной управляемости в типичных однопараметрических семействах полисистем
2.3. Множества локальной управляемости типичных однопара-
мегрических семейств 3-систем
2.3.1. Нормальные формы семейства 3-систем
2.3.2. Нормальные формы множества локальной управляемости семейства 3-систем
2.4. Обобщение на полисистемы
Список литературы

Введение
Активное изучение локальной управляемости систем - возможности перевести систему в заданное состояние из любого близкого к нему за конечное время - началось в середине прошлого века вслед за возникновением математической теории оптимального управления. К примеру, локальная управляемость в нуле есть необходимое условие существования решения вблизи нуля задачи синтеза оптимального быстродействия в нуль, а более жёсткое требование нормально-локальной управляемости [23] в нуле, т.е. существование по любому Т > 0 окрестности нуля, из каждой точки которой можно попасть в нуль за время, меньшее Т, - необходимое условие корректности [9, 10, 16] постановки этой задачи синтеза для автономной системы.
Управляемые системы с конечным набором 17 значений управляющего параметра, каждому из которых соответствует гладкое поле допустимых скоростей движения, называют динамическими полисистемами ]31] (или полисистемами, или, в случае |£/| = к, к-системами). Этот класс систем тесно связан с классом аффинных по управлению систем, имеющим многочисленные приложения. Именно, рассмотрим систему
X = /о(ж) + тМх) + ... + ик/к(х), X € К", (й1)
с к входами, гладкими функциями fj и областью управления II — {и = () € К* : 0 < щ < 1,у — 1,2
ду плотного подмножества в пространстве объектов в подходящей топологии). Очевидно, система (51), ограниченная на управления типа „плюс, минус, нуль“, является (& + 1)-системой, следовательно, локальная управляемость (5) равносильна локальной управляемости некоторой (к + 1)-системы.
К первым классическим результатам о локальной управляемости относится теорема Лассаля о локальной управляемости в нуле в К”, п > 1, линейной системы х = Ах+Ви с постоянными матрицами А, В и управлением и из множества в линейном пространстве, содержащем нуль внутри себя, при условии, что ранг матрицы (В, АВ,
условию Лассаля. В цикле статей Н.Н.Петрова [25, 22, 26, 23, 21, 20| получен ряд достаточных условий локальной и нормально-локальной управляемости для систем общего вида, установлена связь нормально-локальной управляемости с непрерывностью и липшицевостыо функции Веллмана задачи оптимального быстродействия, а для двумерных аналитических полисистем найдены необходимые и достаточные условия нормально-локальной управляемости и показано, что это свойство может быть установлено по конечному отрезку тейлоровского разложения полей скоростей в изучаемой точке. В частности, в статье [25] доказана
Теорема 0.1. Для локальной управляемости полисистемы в некоторой точке необходимо, чтобы нулевая скорость лежала в выпуклой оболочке скоростей системы в этой точке, и достаточно, чтобы скорости образовывали в ней положительный базис, т.е. чтобы любой другой вектор мог быть записан как их полоэюигпелъная линейная комбинация.
Следующая теорема, полезная в дальнейшем, в явном виде есть в статье
вблизи точки, в которой оба поля двупараметрического семейства двумерных 2-систем обращаются в нуль. Ясно, что появление такой точки типично лишь для семейства, зависящего от параметра размерности не ниже 2.
Как мы знаем, множество локальной управляемости семейства двумерных 2-систем с полями V, и) лежит на поверхности Д — О, Д := с!еЬ(ь1, ги) = щгь'2 — Vггщ. Далее изучаемая точка Р, особая для V и го, - начало координат в пространстве (х, у, е), е = (ер ег); будем обозначать через /г* матрицу Якоби поля /г, вычисленную в этой точке, а через I?/,. - дискриминант её характеристического многочлена.
Определение 5. Будем говорить, что двупараметрическое семейство {у. гг} 2-систем полурегулярно в точке Р, особой для обоих его полей, если в этой точке
(a) строки производных (по х,у,е) компонент полей независимы,
(b) собственные числа матриц щ, -ш* ненулевые и попарно различны,
(c) собственные направления, соответствующие вещественным собственным числам, попарно различны, и кроме того,
(с1) ограничение поверхности Д = 0 на нулевой уровень параметра есть функция, второй дифференциал которой - невырожденная квадратичная форма.
В частности, из (а) вытекает изолированность Р как общей особой точки полей семейства и равенство нулю сигнатуры формы А) (Р) (так что в 1-м приближении Д = 0 — невырожденный конус), а из (Ь) - невырожденность особой точки для каждого из полей и локальная гладкость поверхностей V = 0, т = 0.