Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе

• Автор: Попова, Татьяна Семеновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 93 с.

ГЛАВА I. Задача о равновесии трехмерного упругого тела, имеющего трещину
1. Постановка задачи
2. Существование решения
3. Краевые условия на внутренней границе
4. Гладкость решений
ГЛАВА II. Равновесие трехмерного вязкоупругого тела с трещиной
1. Разрешимость задачи равновесия
2. Регулярность решений по временной переменной
3. Краевые условия на внутренней границе
4. Эквивалентная постановка задачи
5. Задача оптимального управления
6. Исследование гладкости решений
ГЛАВА III. Контактные задачи для пластин с трещинами
1. Задача о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину
1.1 Постановка задачи. Существование решения
1.2 Существование производной по временной переменной
1.3 Вывод полной системы краевых условий
1.4 Дифференциальная постановка задачи
1.5 Задача о минимизации объема трещины
1.6 Исследование гладкости решений
2. О равновесии упругой пластины с трещиной, контактирующей с жестким штампом
2.1 Разрешимость задачи равновесия
2.2 Гладкость решений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Краевые задачи - одна из тех областей математической науки, которые имеют наиболее тесную связь с реальными объектами. Моделирование природных процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент.
В данной диссертации изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости и, в частности, к проблемам теории трещин. При использовании математического аппарата в теории трещин краевая задача рассматривается в области, которую занимает тело. При этом граница этой области состоит из поверхности, которая ограничивает тело и поверхности, определяющей форму трещины. Считается, что трещина имеет два берега. Следовательно, задавать краевые условия необходимо не только на внешней границе (условия закрепления, опоры и т.д.), но и на части границы, соответствующей берегам трещины.
Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или компонент тензора напряжений [29, 46, 79-82, 93-100, 119-121]. Эти условия записываются в виде равенств
а цп і = fi на Б
или
и; = ді на 5,
где щ - компоненты вектора перемещений; иц - компоненты тензора напряжений; 5 - поверхность, задающая трещину, п - нормаль к поверхности 5; /і, Уі - заданные функции.
Задачи теории трещин с краевыми условиями в виде равенств на берегах широко изучены в механике. Для их исследования и решения разработаны различные математические методы. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексного переменного. Подробному изложению такого подхода посвящены труды Н.И.Мусхелишвили, Г.П.Черепанова, В.З.Партона и др. [43, 63, 81, 82, 100, 107, 119-121]. Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины, получение критерия начала распространения трещины и вывод формулы для интенсивности напряжений [29].

Также интенсивно используются методы интегральных уравнений для широкого класса задач теории упругости. Интегральные уравнения и их применение к решению пространственных задач теории трещин описаны в работах [3, 33, 99, 130]. После сведения задач к интегральным уравнениям становится возможным использование численных методов решения.
Для решения некоторых интегральных уравнений Винер и Хопф предложили метод, основанный на идее факторизации. С техникой применения этого способа можно познакомиться, например, в [133].
Поскольку наличие трещины нарушает гладкость границы рассматриваемой области, то отсюда вытекают сложности моделирования задач теории упругости. Например, определение напряженно - деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач связано с существенными математическими трудностями. Дж.Райсом был предложен метод приближенного анализа физически нелинейных задач о концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути интегрирования и окружающего сингулярную точку [103, 132]. Впоследствии этот метод был усовершенствован и различные его модификации в приложениях к конкретным задачам описаны в работах [130, 150-152].
Теория потенциалов, используемая в теории упругости и изложенная в монографии В.Д.Купрадзе [66], также получила применение к задачам теории трещин [22, 46]. Метод потенциала для плоской задачи рассмотрен в [34].
Широкое распространение при решении задач о трещинах получил и метод конечных элементов. Применение этого метода подробно описано в работе [79].
Краевыми задачами для эллиптических операторов в областях с негладкими границами занимались С.А. Назаров, В.Г. Мазья, Б.А. Пла-меневский [2, 22, 25, 28, 54, 72, 73, 75, 76, 83, 86-90]. В этих работах получены результаты для областей коническими, угловыми точками, с ребрами и остриями. В статьях [41, 55 - 60, 123] изучено поведение обобщенных решений эллиптических уравнений вблизи границы и исследованы вопросы гладкости решений в окрестности сингулярных точек, исследования эллиптических задач проводились также в [1, 5, 6, 44, 64, 67, 91, 105, 125, 129, 135, 147]. Асимптотика решений вблизи вершины трещины для эллиптических уравнений исследованы в рабо-

Т Т Т т
! ! хх(г)иихх(т) (Піт — ^ ! гпхх(Ь)и)хх(т) тІЇтіт = 0 0 0 0 Т Т Т т
I и!хх(т)сІт ! тхх(і)сИ — ! ! гихх^)юхх(т) (Исіт.
0 0 0
Переобозначив переменные в последней строке, получим
т т
1 = 1 Ц]хх{т)(іт- ! юхх^)(И-1, о о
тогда.
т т
і = ~ І^т-1 іохм}си.
Для остальных слагаемых, а также для трех других билинейных форм можно вывести представления аналогичным путем. Следовательно, (Аг/,‘Г]) запишется в виде
т т
(.Ат), г]) = ! а(т), і])сІі +а(! V йт, ! у (іт). о о о
Теперь, используя неравенство (12), легко заключаем, что
{Ат}, V)
І'ЛІ/.йОД;//)
т.е. А - коэрцитивный оператор.
С помощью (12) можно также показать монотонность оператора А:
(А'О ~ Ат}, г] - Г]) = (А(т] - ?;), 7] - ф > с\г] - гіЦІщт.щ > 0.
Отсюда, в силу непрерывности А получаем, что оператор А псевдо-монотонен. Тогда по теореме 8.2 главы 2 в [69] существует решение задачи