Плоские обратные задачи теории потенциала

• Автор: Чередниченко, Виктор Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 261 c. : ил

В в е д е н и е
Глава I. О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПОТЕНЦИАЛА... 12 § I. Постановка обратной задачи и сведение ее к нелинейной краевой проблеме для аналитических функций
§ 2. Локальная разрешимость обратной задачи
потенциала
§ 3. Достаточные условия разрешимости обратной задачи потенциала
§ 4. Оценки коэффициентов ограниченных ОДНОЛИСТНЫХ функций
§ 5. Оценки коэффициентов однолистных полиномов
§ 6. Необходимые условия разрешимости обратной задачи и априорные оценки решений
§ 7. Продолжение по параметру решения обратной задачи потенциала
Глава II. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ I. Постановка и классификация задач
§ 2. Обратная линейная задача. Определение
плотности тела по заданному потенциалу 136 § 3. Об аналитичности и гладкости решений
обратной задачи
§ 4. Об одной задаче сопряжения гармонических функций и обратной к ней. Метод искусственного подмагничивания в электроразведке

§ 5. Обратная задача для интеграла типа Коши, случай ограниченной и неограниченной линий интегрирования
Глава III. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРАВИРАЗВЕДКЕ И
МАГНИТОРАЗВЕДКЕ
§ I. Постановка задач. Алгоритм численного построения эквивалентного семейства решений по аналитически заданному полю
§ 2. Об одном способе аппроксимации (аналитического продолжения) гравитационных полей. 216 § 3. Примеры численного построения эквивалентных семейств решений
§ 4. О нулях гравитационного потенциала. Восстановление сечений тела по модулю
градиента внешнего потенциала
§ 5, Таблица оценок коэффициентов однолистных
полиномов
Л и т е р а т у р а

Обратные задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) состоят в определении дифференциального оператора (коэффициентов, правой части, на -чальных и граничных значений по некоторой информации о решении (дополнительные граничные или начальные условия, задание решения на некотором подмножестве области его определения, задание функционалов от решения). Первой обратной задачей можно считать классическую задачу, идущую от Ньютона, о фигурах равновесия вращающейся жидкости: найти такое тело, ньютоновский потенциал которого совпадает на искомой границе с заданной функцией, описывающей потенциал центробежных сил. С точки зрения обратных задач данная проблема трактуется как задача определения правой части уравнения Пуассона по дополнительным граничным данным. Теория фигур равновесия приковывала к себе внимание известных математиков в течение дли -тельного периода времени; это связано с важностью ее выводов для теории фигур небесных тел, в том числе и Земли, а также привлекательностью ее задач, сочетающих простоту постановки с большими трудностями решения.
В связи с развитием геофизических методов исследования внутреннего строения Земли возникли и начали изучаться об -ратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала, которая является математической моделью об-

Наоборот, (20) задает аналитическое продолжение функции уШ из области в область [11-і . Теперь
формула Коши дает

/ 1 г
Это уравнение является основньш для дальнейших исследований, в отличие от (13) оно не содержит сингулярного оператора, это позволяет использовать для его решения равномерную нор-му
II II = шх / / т=і
Подведем итог наших исследований в этом разделе.
ЛЕША I. Краевая задача (II) в классе функций из Д1Ш<А равносильна уравнению (21) при выполнении условия (14).
Запишем (21) в виде
СО - Гсо 9 (22)
где Г и) - величина, сопряженная правой части (21). Будем решать (22) в банаховом пространстве функции Йфкі) , удовлетворяющих условию (4). По построению, оператор Г* определен в шаре (14) этого пространства.
6°. Покажем, что некоторый шар ЦсоЦ-^ с/ , лежащий в
шаре (14), оператор Г переводит в себя и является там сжимающим. Найдем число г/ . С этой целью докажем следующее утверждение.
ЛЕММА 2. В шаре ЦсоІ/^ (І при г/к«-з/г имеет место оценка
ЦТшЦщс/^М+е, (23)