Краевые задачи дифракции волн в неограниченных областях

• Автор: Липачев, Евгений Константинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 138 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ОБЛАСТЯМИ С БЕСКОНЕЧНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Постановка краевых задач
§2. Единственность классического решения краевых задач
§3. Применение метода обобщённых потенциалов к решению
краевых задач
§4. Сведение краевых задач дифракции к интегральным
уравнениям
§5. Существование классического решения краевой задачи Дирихле
§6. Существование классического решения краевой задачи Неймана
§7. Построение приближённого решения
Глава II. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Постановка краевых задач
§2. Единственность решения дифракционной задачи в
пространстве квадратично-суммируемых функций
§3. Существование решений краевой задачи
§4. Приближённое решение краевой задачи
Глава III. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
§1. Постановка задачи сопряжения
§2. Единственность классического решения задачи сопряжения
§3. Представление решения задачи сопряжения в
интегральном виде

§4. Существование классического решения задачи сопряжения
§5. Построение алгоритма приближённого решения
Глава IV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ РЕШЁТКОЙ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
§1. Постановка краевой задачи
§2. Теорема единственности решения краевой задачи
§3. Интегральное представление решения краевой задачи
§4. Теорема существования решения краевой задачи
§5. Построение приближённого решения
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Задачи о колебаниях самой разнообразной физической природы, описываемые уравнениями Максвелла, относят к классу дифракционных задач [11, 91]. Различают [91] случаи рассеяния, когда дифрагирующее (рассеивающее) тело имеет конечные размеры и дифракции, когда дифрагирующее тело частично простирается в бесконечность, однако спектр собственных частот непрерывен.
Круг дифракционных задач крайне широк [13, 42, 46, 70, 91, 92, 96, 100] и постоянно расширяется с развитием электротехники и средств оптической связи (см., напр., [14, 48, 93]).
С математической точки зрения целью теории дифракции является построение математических моделей физических явлений, которое включает разработку аналитических и вычислительных методов нахождения решений соответствующих краевых задач, а также исследование свойств полученных решений.
Математические методы теории дифракции систематизированы в монографиях [11, 12, 17, 34, 47, 53, 57, 65, 91, 95, 97], обзорных работах [13, 31, 45, 89].
В случае установившихся колебаний математическая модель дифракционных задач в большинстве случаев сводится к краевой задаче для уравнения или системы уравнений в частных производных эллиптического типа в областях различной формы и при разных граничных условиях. Для выделения единственного решения краевой задачи, имеющего определённый физический смысл, должны быть сформулированы условия излучения, определяющие поведение решений на бесконечности [42. 46, 78, 88]. Выбор условий излучения является одним из существенных вопросов при построении математической модели и зависит от области, в которой рассматривается дифракционная задача и от уравнения математической модели. Если на границе области имеются точки нарушения гладкости, то математическая модель содержит также условия на поведение решений в окрестности этих точек, известные как условия на ребре и состоящие в требовании конечности энергии в окрестности рёбер [42, 65].
Если область, в которой рассматривается краевая задача, обладает той или иной симметрией, можно, при некоторых предположениях, перейти от векторной формы модельных уравнений к скалярной. Это значительно упрощает дальнейшие исследования. В плоских задачах дифракции решение задачи для случая произвольно поляризованной падающей волны можно представить в виде линейной комбинации
Правая часть интегрального уравнения (5.1) является непрерывной функцией, что следует из соотношений (4.5) и (1.8). Согласно известным результатам о интегральных уравнениях Фредгольма второго рода с непрерывной правой частью (см., напр., [63, 64]), заключаем, что ф Е С[—а,а]
Рассмотрим в области 5 функцию
и(Р) = й(Р) + (5.16)
где ф(х) —решение интегрального уравнения (5.1), а функция й(Р) определена формулой (1.8).
Эта функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца и условиям излучения (1.7). Учитывая непрерывность функции и(Р) на границе у , из формулы для скачка значений потенциала двойного слоя на границе, получаем в точке Р* = (х*, г*) Е у* следующее соотношение
и(Р*) = й(Р*) + ъф(х*) + [ (5.17)
у опр>

Поскольку <р(х) является решением интегрального уравнения (5.1), то при Р* € у* из (5.17) и (4.5) получаем
и(Р*) = -и0(Р*).
Если Р* Е уу* , то, согласно следствию 3.4, (Р") = 0. Из этого соот-
ношения и определения функции й(Р) получаем
и(Р*) = -гю(РФ), Р* £ У у*
Таким образом, всюду на границе у выполнено граничное условие (1.6).
Приходим к выводу, что функция и(Р) , построенная по формуле (5.16), является решением краевой задачи (1.5) — (1-7).
Из формул (3.3), (5.2) и свойств функции Н[ (т) следует, что и (Р) Е С2 (5) . На границе у функция и(Р) неперывно продолжена с помощью формулы (5.17). Следовательно, и(Р) € С (У и 7)
Тем самым показано существование классического решения задачи (1.5) — (1-7).
Как следствие теорем существования и единственности, получаем теорему о эквивалентности краевой задачи (1.5) — (1-7) и интегрального уравнения (5.1).
Теорема 5.2. В условиях теоремы 5.1, справедливы следующие утверждения.