Некоторые классические задачи локальной качественной теории аналитических динамических систем второго ряда

• Автор: Сагалович, Михаил Ефимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 93 c. : ил

Глава I. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ИЗОЛИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

1.1. Процесс приведения. Определение полного набора. Основные свойства полного набора

1.2. Упрощенный процесс приведения и его связь

с процессом приведения

1.3. Построение локальной схемы состояния равновесия системы (А) на основании полного набора и упрощенного полного набора

1.4. Множество всех топологических структур состояния равновесия 0 систем вида (АО

1.5. О классах топологических структур состояния равновесия 0 семейства систем вица (А)
1.6. О топологических структурах состояния равновесия некоторых классов ( е , А. , р )т
1.7. Теоремы о всех топологических структурах состояния равновесия О семейства динамических систем вида (А) при т = 1 ът=з

Глава 2. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ СХШЫ ОСОБОЙ ТОЧКИ

ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДШЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Постановка задачи
2.2. Исследование вспомогательного уравнения
2.3. Построение помеченного леса
2.4. Метод решения проблем различения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящена одной из основных проблем локальной качественной теории динамических систем на плоскости - установлению топологической структуры состояния равновесия системы двух вещественных автономных дифференциальных уравнений:,
где X (X, У) , Т(ОС,у) - непрерывные функции в некоторой области £ евклидовой плоскости ( ос, у - декартовы координаты)-, имеющие, по крайней мере, непрерывные частные производные первого порядка. Постановка проблемы дана в конце введения.
Интерес к динамическим системам на плоскости огромный, так как они хорошо описывают многие задачи физики, механики и техники при естественных упрощающих предположениях (см., например, [1.2-1.6, 1.17-1.21]). Изучение их необходимо и для перехода к исследованию систем трех, четырех и т.д. автономных дифференциальных уравнений.
В настоящее время существует много работ по качественной теории в п -мерных (банаховых) пространствах, многообразиях [*1.5,
1.11, 1.15]. Это важные и нужные работы, большинство из которых в первую очередь носят теоретический характер. У кое-кого даже сложилось мнение, что исследования на плоскости уже в основном закончены и получать новые результаты можно достаточно легко. Автор относится к числу тех, кто не разделяет этого мнения и считает, что простота исследований на плоскости является только кажущейся. Первое мнение возникло, по-видимому, потому, что серьезные результаты в этой области получены и прекрасно изложены такими классиками каX = X с ос, У), у =7(ОС, У),
(I)

чественной теории, как А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, И.Бендиксон,
А.А.Андронов и многими другими первоклассными исследователями, результаты которых изложены, например, в [1.2, 1.3, 1.4, 1.8,
1.12, 1.13, 1.14, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.26, 1.27]. На самом деле существует ряд нерешенных принципиальных классических задач, которые необходимо решать. Так, например, далеко от завершения качественное исследование в целом даже такой с виду "простой? системы, как
х = X , (Х3 у) + Хг (Х3 У) ,
У = У, (Л; У) +У& (Х,У) ,
где X • 3 У- - однородные многочлены от х и у степени^ , к которой сводится большое число прикладных задач.
Впервые задача качественного исследования динамических систем второго порядка была поставлена основателями качественной теории дифференциальных уравнений А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым. Ими же получены первые глубокие результаты [1.20, 1.18] в этом направлении. Теория динамических систем, намеченная А.Пуанкаре, получила дальнейшее развитие в работах Д.Биркгофа, который заложил основы общей теории динамических систем [1.8] . Позднее многие результаты А.Пуанкаре, касающиеся систем вида (I), были существенно улучшены, обобщены и уточнены И.Бендиксоном [2.66]. Ими были получены общие теоремы о возможных типах траекторий, о характере множества их предельных точек, проведена классификация особых точек.
В итоге была, в основном, построена так называемая "теория Пуанкаре - Бендиксона". Работа А.Дж.Шварца [2.77] посвящена распространению этой теории с плоскости на двумерные многообразия. Л.Брауэр [2.67] исследовал систему (I) для случая, когда априори не предполагаются условия, обеспечивающие единственность решения задачи Ко-

Совершенно аналогично можно показать, что е~ + к ^ т-1. Следовательно, неравенство е. + к ^2т , а также в случае е+к=2т равенство е ++ к* = е + к -т-! доказаны. Нам осталось показать, что при е+к=2т <2=Л = / . Предположим противное, т.е. ё = 0 .В этом случае среди А* , п- неособых приведенных уравнений есть по крайней мере одно уравнение, которое обозначено символом С . Пусть это уравнение принадлежит положительное набору. Тогда
п + п
Є+ +/і+* Е. + I- ( К + У,) + К Л*п+ * гп-%

и, следовательно, £ + Л <2т . Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
В качестве следствий основной леммы и теоремы І.І легко показать справедливость для системы (А) следующих утверждений.
Теорема 1.2. Если е + к=2т+2, то к=2т+2, е = 0, р = о.
Теорема 1.3. Если е + к = 2т , е*0, /?>£ + / , то ё ~ Л = /.
Теорема 1.4. Если к = 2т , то е-О, рз
Замечание 1.5. Из теорем І.I, 1.2, 1.3 следуют как частный случай ранее полученные А.Н.Берлинским оценки: е<2т-1 [2.13] и, если Є * О , то е + к^Япъ [2.14]. Результаты, содержащиеся в теоремах 1.2 и 1.4, были также приведены (без доказательств) в работе А.Н.Берлинского [2.17].
Теорема 1.5. Для системы (А) (уравнения (I)) справедливы следующие неулучшаемые ни для одного т>у 1 оценки: е + к + р * 4т, р * 2 /п
Следствие. Число сепаратрис состояния равновесия 0 системы (А) (уравнения (І.I)) не превосходит то/&(2т+24т -2) Данная оценка неулучшаема ни для одного пъ^ і