Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных

• Автор: Линьков, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 133 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Характеристические задачи для дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением
1.1. Задача Сгі (Аналог задачи Гурса)
1.2. Задача БХі (Аналог задачи Дарбу)
1.3. Задача СО (Задача типа Коши-Гурса)
Глава 2. Смешанные краевые задачи для дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом вида (—ж, і)
2.1. Обоснование метода Фурье решения краевых задач для дифференциального оператора с инволютивным отклонением
2.1.1. Полнота тригонометрических систем
2.1.2. Сходимость тригонометрических рядов
2.2. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего оператор теплопроводности
2.3. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего оператор
Лапласа
2.4. Корректность постановок аналогов смешанных краевых задач для дифференциального уравнения с инволютивным отклонением, содержащего волновой оператор

Глава 3. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами и инволютивным отклонением вида (у,х)
3.1. Получение ”общего” решения уравнения с инволютивным отклонением
3.2. Функция Римана для уравнения Эйлера - Пуассона -Дарбу
3.3. Решение краевой задачи для модельного уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу при с = 0, а — 0, Ь = 1 методом Римана
3.4. Решение краевой задачи для модельного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при с = 0, а — 0, Ь — —1 методом Римана
3.5. Корректность начальной задачи для модельного дифференциального уравнения с инволютивным отклонением вида (у, х)
Список литературы

Введение
Впервые дифференциальные и функциональные уравнения с инволютивным отклонением встречаются в работе Ч. Баббеджа [96], опубликованной в 1816 году, в которой автор получил явные формулы решений уравнений вида
йпу(х) . ,
где ар(х) = а?~1(а(х)) — х, р < п.
В 1921 году В. Файт в работе [98] описал свойства решений обыкновенного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида (отражением) а(х)
<1у(х) / /
—-р— — ау(-х), х £ (-оо,+оо), ах
и показал что это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет колеблющееся решение. Более того решения уравнения (1) обладают следующими свойствами:
у(пх) - р(х)у(а(х)) = 0. (1)
при р(х) > I > 0 и нечетных п - все решения осцилируют; при р(х) > I > 0 и четных п - среди решений могут быть и неосци-лирующие. В случае а{х) — ж, ситуация прямо противоположная (см., например, [55]).
Уравнение (1) является уравнением с отклоняющимся аргументом, причем
После замены переменной |с — 2ж —> ж последнее соотношение примет вид
Мх) = -Ч> (|) + (!) - Ч> (2) + Т<уС ~ + ’
при ж 6 [§, с]. Нетрудно заметить, что у>1 (|) = |т (|) и, следовательно,
при ж Є [|, с]
В области Ба и І)д ао§ (область III на рис. 1.4) решение аналога задачи Дарбу представимо в виде
и(х, і) = <£> - т {т(ж + скі) + т(х - аі)} +
1 ( , (х + /ЗА , /ж — /ЗА /ж — а;А /с — ж — аА
+2 (-Г-) - * ( 2~) - (—) - * (—Г“)} +
+— {т(с — ж + аі) + т(с — ж - аі) + т(ж — /Зі) — т(с — ж + /Зі)}

Аналогично поступаем при нахождении решения в областях IV и V (см. рис. 1.4).
В области Па и£)|с£>|с (область IV на рис. 1.4) решение аналога задачи Дарбу представимо в виде
1 (с
и(ж, і) = - {т(ж + аі) 4- т(ж — аі) + т(с — ж + аі)} + 99 I - ) +
и ті
1 Г , /с — ж — /Зі , іс — ж + /ЗА /ж — аі
+2 (—Г) " * (—а"2-) - * (—)}
1 /с — ж — аі 1 .
~2Р ( 2 ) + 2 Ж ~~ + Т(Х + ~