Исследование эволюционных игр в рамках теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби

• Автор: Мельникова, Наталья Венедиктовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Содержание
1 Уравнения Гамильтона-Якоби в задачах эволюционных дифференциальных игр
1 Постановки задач теории эволюционных и
дифференциальных игр
2 Терминальная и стационарная задачи для
уравнений типа Гамильтона-Якоби
2 Конечно-разностные операторы для уравнения Га-
мильтона-Якоби
3 Выпуклые, вогнутые оболочки и п-мерные
плоскости кусочно-линейных функций
4 Среднеквадратичные конструкции в конеч
ных разностях
5 Модификация линейного оператора для ста
ционарной задачи
6 Операторы на несимметричных областях
достижимости
3 Синтез оптимального управления при пространственно-временной дискретизации задачи
7 Оптимальные процедуры управления

8 Синтез стационарных стратегий
9 Соотношения между шагами аппроксимаци-онной сеточной схемы
4 Квазивыпуклые аппроксимационные схемы
10 Оптимальный синтез для квазивыпуклых
аппроксимационных функций
11 Дифференциальная игра с дисконтированием
5 Динамические модели и вычислительные эксперименты
12 Управляемые уравнения Колмогорова
13 Динамика неоднородных коалиций
14 Управляемая репликаторная модель

Введение.
Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных методов построения равновесных стратегий управления в эволюционных играх. Теория эволюционных игр является активно исследуемым направлением прикладной математики. Создание этой теории было вызвано актуальностью выявления закономерностей развития и возможностей управления в экономических, социологических, биологических системах.
Развитие теории эволюционных игр тесно связано с такими направлениями как дифференциальные игры, оптимальное управление, математическое програмирование, негладкий и выпуклый анализ.
Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов и связано с именами российских и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтря-гина, Р. Айзекса, У. Флеминга. В качестве решения эволюционной игры в диссертации рассматривается совокупность позиционных управлений, ориентированных на гарантированную оптимизацию выигрышей *- один из классических подходов теории дифференциальных игр. Равновесные управления конструируются на основе решений вспомогательных задач гарантированого управления. Базисным элементом решения этих задач является функция цены, для построения которой применяются сеточные схемы аппроксимации обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. В этом аспекте материал диссертации опирается на результаты теории уравнений Гамильтона-Яко-

го) решения уравнения Гамильтона-Якоби, совпадающего с функцией цены. В рамках теории уравнений в частных производных первого порядка было получено эквивалентное определение вязкостного решения, сформулированное в терминах субдифференциалов [76], [77]. Были доказаны теоремы существования, единственности и корректности решений.
Приведем определение обобщенного решения [58] для терминальной задачи.
Определение 2.1 Непрерывная по Липшицу функция w называется обобщенным (минимаксным) решением задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби (2.1), если она удовлетворяет краевому условию (2.4) и для нее выполнена пара дифференциальных неравенств
иЯ sup(< s,h > —d-w(t, ж)|(1, h) — H(t, x, s)) > 0 (2.8)
sup inf (< s,h > —d+w(t, a?)|(l, h) — H(t, x,s)) < 0 (2.9)
seRn h£R"
Для непрерывных по Липщицу функции w нижняя и верхняя производные по направлению задаются формулами
d-w(t, сс)|(1, К) = lim inf Aw(t, х, h, 6)6~г
6—»0
d+w(t, £с)|(1, h) — lim sup Aw(t, x, h, 6)6~1

Aw(t, x, h, 6) = w(t + 6, x + 6h) — w(t, x)
Неравенство (2.8) выражает свойство u-стабильности, а неравенство (2.9) - свойство u-стабильности функции