Асимптотика решений и методы исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений

• Автор: Артемьева, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 107 c. : ил

ГЛАВА I. ПРИТЯЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ И УСЛОВНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Притяжение решений нелинейных систем дифференциальных уравнений

§ 2. О существовании интегрального многообразия

притягиваемых решений

§ 3. Сравнение решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с решениями линейного приближения

ГЛАВА П. МЕТОД ГРУППИРОВОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Понятие о методе группировок

§ 2. Решение задач об устойчивости состояния равновесия методом группировок

§ 3. Возмущенные нелинейные системы

§ 4. Многообразие притягиваемых решений

ГЛАВА Ш. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ И ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ
УСЛОВИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений
§ 2. Гомеоморфизм начальных условий систем диференпиальных уравнений
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. Одним из наиболее эффективных методов, используемых для исследования поведения решений систем дифференциальных уравнений, является метод сравнения. Он заключается в том, что вместо системы
^■=F(i,x)+f(i,x) (I)
рассматривается система первого приближения
ж:=/?^,у) (2)
и на основании изучения свойств решений системы (2) делается вывод о поведении решений системы (I).
Мы рассматриваем случай, когда F(t,x) - A(t)x. Систему (2) в этом случае будем называть системой линейного приближения.
Основу метода сравнения составляют положившие начало всей качественной теории дифференциальных уравнений труды А.Пуанкаре
[71] , [72] и А.М.Ляпунова [51] , [52] . Перечислим здесь наиболее важные результаты, используемые нами в исследованиях.
А.Пуанкаре принадлежат основополагающие результаты по качественной теории автономных систем второго порядка. Им изучена качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности начала координат для системы (I) при н - Z в случае, когда A (t) = А - постоянная (И X П )-матрица и компонентами вектор-функции ^ являются полиномы, не имеющие свободных и линейных членов относительно компонент вектора X ,
Фундаментальные результаты получены А.М.Ляпуновым. Его первый' метод эффективно используется для исследования решений системы (I). Теорема об экспоненциальной устойчивости по первому
приближению, когда (/1ХЛ ) - матрица А а) непрерывна и ограничена при t>/to ; /£ С [х* > Н{(*,Х)Ц ^ С II Ж! т,
П1> 1 , С > 0, система (2) - правильная и все её характеристические показатели отрицательны, сыграла стимулирующую роль в развитии метода сравнения. Достаточно напомнить результаты И.Г.Малкина [53] , Е.А.Барбашина [12] , [13] , Н.Н.Красов-ского [48] , В.И.Зубова [34] - [38] , В.М.Миллионщикова [57] -[59] , Н.А.Изобова [41] , У. [104] и многих других.
Поведение интегральных кривых системы (I) с постоянной ( И X п ) - матрицей А и неголоморфной относительно X вектор - функцией £ рассматривали с целью изучения структуры окрестности особой точки 0• Реъъ&тЬ' , И.Г.Петровский.
И.Г.Петровским [67] доказано, что если в окрестности нуля непрерывная вектор-функция имеет непрерывные частные производные по X первого порядка, ^ вместе с этими производными ооращается в нуль в точке X ■=■ О , матрица А имеет ^ собственных значений с отрицательными вещественными частями, то существует /£ - мерное интегральное многообразие 0 - кривых системы (I).
Асимптотическое поведение решений системы (I) с постоянной матрипей А при 1->+оо изучал В.А.Нкубович [92] . Им доказана также приводимость системы (I) в случае, когда <£(£,х)~
= ВИ)х , где В - ограниченная и непрерывная
( И х П, ) _ матрица [91]
Н.А.Изобовым [41] построена оценка снизу для точной нижней границы изменения показателей системы (I), где А У) “ кусочно-непрерывная и ограниченная ( Ц X !Ъ ) - матрица, ^УГХ)

где âL > о » ÂL HXi 114 Cl (ихIIe) . При получении опенки
4/4ifi(i-i)IIZill + '"+Hi H 4XL-i\-h II Xi II
использованы выше перечисленные свойства функпий Vi(t,
условие (П), которое также обеспечивает ограниченность произвол-
“ ШdXJ А
Пусть /| - ( щ * Ш ) - матрица с элементами
а - Il г Й - ,
«у = ËÜL , где dj >0, dj HXjlHajdiXjii),
- О , j > î ,1
Тогда при i-im для производной ,V.L(1i)- в силу под-

системы (2.1Лi )
« -g Ëi HXi! + (i-l)di ЧХЛ + ... + “£7^’-' IIXi'ÂV(t,x<) + -+
= È aij Vj(*,Xu~,Xj),
следовательно, справедливо неравенство
d Vd eût
Рассмотрим уравнение сравнения
Ж=Аи-, (2.2.2)
имеющее критическую точку и,-0 , с непрерывной и квазимонотонно возрастающей правой частью. Покажем, что И- О является равномерно асимптотически устойчивым состоянием равновесия для уравнения (2.2.2). По теореме Матросова [55] в этом случае состояние равновесия системы (2.2.1() будет также равномерно асимп-