Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка

• Автор: Умалатов, Салман Даудович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 100 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязных областях плоскости с гладкой границей
§ 1. Вспомогательные результаты
§2. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с
действительными коэффициентами
§3. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с
комплексными коэффициентами
§4. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для правильно
эллиптических систем
Глава II. Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязных областях плоскости с кусочно гладкой границей
§ 1. Вспомогательные результаты
§ 2. Краевые задачи 1-порядка
§3. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с
действительными коэффициентами
§4. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с
комплексными коэффициентами
§5. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для правильно
эллиптических систем
Глава III. Некоторые приложения
§1. Первая задача Векуа
§2. Вторая задача Векуа
§ 3. Краевая задача типа задачи Гильберта
Литература
Введение
Работа посвящена краевым задачам типа Римана- Гильберта- Пуанкаре (Р-Г-П) для общих эллиптических систем первого порядка как в областях с гладкой границей, так и в областях с кусочногладкой границей. Особый интерес к ним многих математиков объясняется тем, что они имеют весьма общирную область применения в различных вопросах анализа, геометрии и механики.
Задачей типа Римана-Гильберта-Пуанкаре (Р-Г-П) будем называть задачу для системы с краевыми условиями, содержащими производные от искомых функций:
Исторически первая постановка задачи для аналитических функций принадлежит Риману[21], она выглядит так: требуется определить аналитическую функцию в области по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области. Полное решение этой задачи в односвязной области в случае когда действительная и мнимая части и и V удовлетворяют на границе условию
Де((сс — г/3)(и + гу)) = аи + (Зь = 7, где а2 + /З2 = 1, дал Гильберт [4].
(0.1)
(0.2)
В монографии И.Н.Векуа [1] отмеченная проблема решена для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. В дальнейшем усилия многих математиков были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Отметим здесь работы Б.Боярского [22], B.C.Виноградова [23-25], А.И.Вольперта [26]. В работе [22] изучается краевая задача для Q- аналитических функций ( в многосвязных областях), которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. А в [23-26] рассматриваются краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, установлена нетеровость и дается формула для индекса. Изучение здесь проводится привлечением аппарата сингулярных интегральных операторов, который в случае многосвязных областей недостаточно развит. Краевые задачи в односвязной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А.И.Вольпертом [27]. Много интересных результатов для систем с постоянными коэффициентами получены А.В.Бицадзе, А.П.Солдатовым и др.(см.[7],[28-31] и имеющуюся там литературу ).
Краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные, впервые рассмотрел Ф.Д.Гахов в [2]. К этой задаче приводятся многие задачи теории
Повторяя эти рассуждения, через конечное число шагов, получим:
detG = {у kl{l~ — гх) 2 і) det А

0 Л Е
0 0 0 ... Л Е
aTi a2Ti dzT ... щТ щ+iTiу Определитель матрицы А можно считать индукцией. Имеем :
7 = det(a;+iTiAi 4 1- aiTi), 7 = det А.
Следовательно для первого слагаемого в (2.15) имеем:
Indr det G = Indr {(у ~ га:) “7) = — ~-1m ~ + Indr7
Подставляя последнее в формулу (2.15), получим
(2.16) к = kl(l — l)(m - 1) + 2Ind7 — k(l2 + I + 1 ){m — 1)
2/to — k(2l + l)(m — 1),
где ко— индекс функции 7, m + 1- порядок связности области Q. Таким образом, доказана
Теорема 2.1. Для нетеровоспги задачи (2.1 )-(2.2) необходимо и достаточно, чтобы
(2.17)
7 = det(a;+iTiA! — аДхА11 + Ь (~l)*aiTi) ф 0 всюду nadQ
При выполнении этого условия индекс задачи дается формулой
(2.18) к = 2к0 — k(2l + l)(m — 1).