Стабилизация решений вырождающихся линейных эллиптических и параболических уравнений

• Автор: Гилимшина, Венера Фидарисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Поведение решения вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области
§1. Определение и существование обобщенного решения 23 §2. Оценка решения эллиптического уравнения сверху .
§3. Построение Л—разбиений для эллиптического уравнения
§4. Оценка решения эллиптического уравнения снизу
§5. Примеры
Глава 2. Стабилизация решения вырождающегося
параболического уравнения
§1. Постановка задачи. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для параболического уравнения
§2. Оценка решения параболического уравнения сверху 57 §3. Построение А-разбиений для параболического уравнения
§4. Оценка решения параболического уравнения снизу .
§5. Примеры
Литература

Введение
Работа посвящена изучению стабилизации решений линейных вырождающихся параболических и эллиптических уравнений с краевыми условиями разных типов на границе неограниченной области П. Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В диссертации для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка исследовано поведение при х —> оо решения этой задачи в зависимости от геометрии О и коэффициентов уравнения. Для вырождающихся параболических уравнений исследовано поведение при 2 —> оо решения задачи в зависимости от геометрии £2 и коэффициентов уравнения.
Пусть £2 — неограниченная область пространства Ж", п > 2, х = (®1, Х2,..., хп) £ Ж". Рассматривается линейное эллиптическое уравнение второго порядка:
Ьи=- Ф, (0.1)

Ьи = У^ (а^(х)иХг)Х1- + [Ъ{(х)иХг + (а(х)и)Х{] - <1{х)и. i,j=l г=
Все коэффициенты уравнения измеримы в О,, с1 > 0. Условия на обобщенную функцию Ф будут даны ниже. Симметрическая матрица {огДж)} удовлетворяет условию эллиптичности: существуют положительные постоянная Т и неотрицательная непрерывная в £2 функция з(х) такие, что для любого вектора у £ Мп и почти всех х £ О, справедливы неравенства:

»мм2 < Е аар(х)уаУ/з < Дж)Т|у|2. (0.2)
а,/3=
Функция 5(ж) может обращаться в нуль на границе области и функции Да;), с1(х) и 1/Дж) предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству П.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) с сочетающимися

краевыми условиями первого и третьего типа
же Го

(0.3)
Здесь Гх С дО, — произвольное замкнутое подмножество, Гг = 5ПГх;
будем иметь дело с обобщенным решением задачи (0.1), (0.3) в определении которого (см. ниже) условия (0.3) формально не участвуют. Тем не менее, при условии гладкости границы дО. и коэффициентов уравнения (0.1) это обобщенное решение будет удовлетворять условию (0.3) на Гг поточечно, а на Гх в смысле следа.
В диссертации для эллиптических уравнений исследована зависимость скорости убывания при х —> оо решения задачи (0.1), (0.3) от геометрии неограниченной области Q и функции s(x).
Список работ и результатов, посвященных изучению поведения решений эллиптических уравнений и систем огромен. Поэтому ограничимся лишь теми их них, в которых исследуется скорость убывания решения на бесконечности. Отметим интересную работу В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана [25], в которой доказано Lx-неравенство Гарна-ка для эллиптических систем уравнений и в качестве приложения получено обобщение теоремы Лиувилля и установлено экспоненциальное убывание (рост) положительного решения в неограниченном цилиндре. В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [41] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений при х —+оо в областях с некомпактной границей в зависимости от геометрических свойств области и функционала Ф, стоящего в правой части уравнения. В частности, в работе [41] для области fiel", лежащей в полупростран-

внешней нормали к границе. Мы

Лемма 2. Пусть функция С(х) € С,1[0, /г.] невозрастающая и неотрицательная, и > 1. Тогда для любой функции д Е С'о°(0,/г] справедливо неравенство:
J С(х)х ид2(х)дх < У С(ж)ж и{хд')2бх. (1-18)

Доказательство. По формуле Ньютона - Лейбница имеем
Сх1~ид
, И /г /г

= J С'х1 "<72Фе + 2 J С х1 и9 0 0 О
Учитывая, что С(Д) > 0, С"(ж) < 0, можем записать неравенство

0 < 2 У Сх1~идд,(х)дх + (1 — п) J Сх~ид2{х)дх. о о
Применяя неравенство 2аЪ < єа2 + Ь2/є, є = (и — 1)/2, перепишем это в виде
Л /г /г
(г/ - 1) У Сх~'/д2{х)дх < ----- J Сх~ид2(х)с1х + ^ 2 ^ J Сх~и(хд')2дх,

откуда и следует (1.18).
Теорема 6. Пусть для неубывающей функции д(ж) Є Сх[0, /г] существует число и Є (1; 2) такое, что (ж"~2д(ж)У < 0. Тогда для
д Є Со“(0, Н справедливо неравенство:

У 92{і)дсіі < аЪ2 У (дх))2ддх, (1.19)

-3. - (Аи2-2и+о
где а = ^,-1)2 -) ■