Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа с интегральными условиями

• Автор: Юсупова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение
Глава 1. Задачи с условиями сопряжения для уравнения с двумя линиями вырождения
1.1. Задача Ух
1.1.1. Сведения о задаче Коши
1.1.2. Задача У
1.1.3. Единственность решения задачи У
1.1.4. Приведение решения задачи У к решению интегрального уравнения
1.1.5. Исследование ядра интегрального уравнения
1.1.6. Исследование правой части интегрального,уравнения
1.1.7. Выполнение условий теорем
1.1.8. Непрерывная зависимость решения задачи У от начальных
условий
1.2. Задача Уч
1.2.1. Постановка задачи
1.2.2. Существование и единственность решения задачи Уг
1.3. Задача Уз
1.3.1. Постановка задачи
1.3.2. Существование и единственность решения задачи Уз
Глава 2. Задачи для уравнений, вырождающихся на границе области
2.1. Задачи для уравнений с одной линией вырождения
2.1.1. Предварительные утверждения
2.1.2. Задача Ах
2.1.3. Задача А2
2.1.4. Задача Аз
2.2. Задачи для уравнения с двумя линиями вырождения
2.2.1. Нахождение общего решения
2.2.2. Задача
2.2.3. Задача
2.2.4. Задача 5з
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Ф.Трикоми [77]. В последствии для гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области, были поставлены и исследованы различные краевые задачи [70, 71, 74, 47, 18, 35 и др.]. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике и многих других областях науки и техники.
Успехи современного естествознания потребовали дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных. В процессе изучения различных физических проблем постоянно возникают качественно новые задачи, на важность изучения которых указывает, например, А.А.Самарский [68]. Так, последние двадцать лет интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.
К нелокальным задачам можно отнести задачи типа Франкля [879]. Эти задачи для уравнений смешанного типа изучали Ф.И.Франкль, А.В.Бицадзе, Ю.В.Девингталь, А.П.Солдатов, К.Б.Сабитов [79, 7, 34, 73, 67]. Так, К.Б.Сабитовым [67] получено решение задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, для которого в 1956 году и была поставлена задача Франкля, а также найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
Исследованию еще одного класса нелокальных задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И.Жегалова [37] и А.М.Наху-шева [55]. Задачи со смещением являются важным классом нелокальных задач и впоследствии исследовались для уравнений различных типов, что нашло отражение в многочисленных, работах [1, 2, 5, 13, 51, 66 и др.].
В работе А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [9] впервые была рассмотрена нелокальная краевая задача, являющаяся обобщением задачи Дирихле, что обусловило появление работ, в которых исследовались нелокальные задачи, представляющие собой непосредственное обоб-

щение известных классических краевых задач [5, 6]. В частности, задача со смещением, о которой уже упомяналось выше, является существенным обобщением задачи Трикоми. В одной из последних своих работ А.М.Нахушев приводит определения локальной и нелокальной задач и классификацию известных на сегодняшний день нелокальных задач [56].
Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, А.А.Самарский [68] приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из задач, возникающей при изучении физики плазмы. Впоследствии Л.С.Пулькина [65] получила явный вид решения этой задачи.
Отметим, что в настоящее время известны примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений (задача влагопереноса, задачи математической биологий [56]).
За последние три года появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями и для пространственных задач [20].
Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались В.Ф.Волкодавовым, З.А.Нахушевой, Л.С.Пульки-ной, Н.Д.Голубевой, Л.А.Игнаткиной [14-16, 57-58, 63-65, 23, 41] и др. Так, Л.С.Пулькиной [63] была рассмотрена задача, состоящая в нахождении решения уравнения Эйлера-Дарбу
п / ч а а
“а.а() — У'х у + П'у — О,
х-у х-у удовлетворяющего интегральным условиям
£и(х,у)<1у = (р{х),
> - - £и(х,у)Их - 'ф(у)
и непрерывным условиям сопряжения на линии у — х как по функции, так и по нормальной производной. Н.Д.Голубева в своей кандидатской диссертации [23] для того же уравнения исследовала задачу с

Будем считать II = т/(4), а в качестве функции У возьмем функцию
У = - £ К1(Х,8)<18.
у = _х1-М Г(*2)|+V - я2)2«-2г-1(1 + д - 2 г, 2д; 2 + д; 4 )*2 = 2,
= _!*!-<» V (1 + 9-2г)„(2?); /1"
2 п=о (2 + д)п п! V*2/
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляем заменой в2 = ж2 — (ж2 — £2).г. Получим
к = -Г2-2«(*2 - <2)2,_2г Ё (1У 4£к(1)
2 п=о (2 + <Л)п п!

х [1 22<г-2г-1(1 - --г)1+С1+п<1г = 10 х2
= -Г2'2«(ж2-(2)В(21г-2г,1) £ Й±5—ШЦ)»х
2 п=0 V + Я)п ТЬ-
*р{~ - я - п> 2д - 2г; 2д — 2г + 1; Х )
Интегрирование по частям дает
«(х) = ф(2„ - 2т, 1)Г(2[зГ)+1+9)т'(0)х2-4Гх
3 3 XX
х3У2( 1+9- 2г, 2д, - + д; 2 + д, Зд- 2г + -; 1).+ А* £ т"(*) £ Кг(х, в)<Ы*,
(1.58)

К(х, = ж2-29(ж2 - Ь2)2д~2гВ(2д - 2г, 1) х
х £ - 2« - 2г + !
(1-59)
Пусть
7*2(ж) = к2 [ т')К2{х)сИ.

В этом интеграле проинтегрируем по частям, полагая С/ = т'(£), а в качестве функции У возьмем функцию
У = 1*К2{х,8)с1з