К нелинейной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка

• Автор: Панов, Евгений Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Новгород
• Количество страниц: 254 с.

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ПАНОВ ЕВГЕНИЙ ЮРЬЕВИЧ УДК
К НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
01.01.02 - Дифференциальные уравнения
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Новгород-1997
Оглавление
Введение
1. Актуальность темы
2. Краткое содержание
Глава 1. Обобщенные энтропийные решения
§ 1. Существование обобщенных энтропийных решений
§ 2. Одно достаточное условие единственности
§ 3. О единственности обобщенного решения с одной допустимой строго выпуклой энтропией
§ 4. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого
порядка на многообразии
Глава 2. Мерозначные решения
§ 5. Понятие мерозначного решения. Принцип максимума
§6. Условия регулярности мерозначных решений
§ 7. Сильные мерозначные решения
Глава 3. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений
§ 8. Понятие Н-меры, соответствующей ограниченной последовательности мерозначных функций
§ 9. Последовательности мерозначных решений
§ 10. Принцип локализации для ГГ-меры, соответствующей последовательности мерозначных решений. Сильная предкомпактность ограниченных множеств мерозначных решений в невырожденном случае
Глава 4. Кинетическая формулировка мерозначных решений
§ 11. Функции распределения мерозначных решений как обобщенные решения задачи Коши для ’’кинетического”
уравнения
§ 12. Случай сильных мерозначных решений
§ 13. Аппроксимационная схема, связанная с кинетической интерпретацией. Исследование аппроксимирующей
задачи
§ 14. Сходимость аппроксимаций

Глава 5. Об одном классе гиперболических систем квазилинейных законов сохранения
§ 15. Системы, порожденные оператором функционального исчисления на пространствах эрмитовых и симметричных матриц. Гиперболичность таких систем
§ 16. Энтропии
§ 17. Постановка задачи Коши. Понятие обобщенного энтропийного решения. Принцип максимума
§ 18. Сингулярные энтропии. Понятие и некоторые свойства о.э.р
§ 19. Сильные о.э.р
§ 20. Обоснование метода исчезающей вязкости
Литература

и из (1.9) вытекает оценка
|Д((,) - ЩМ < ЛГ(М)||79(1)||1(*, - <о).
из которой в пределе при —> 0, и еЕд£, используя условие Ь)
определения 1.1, получим, ЧТО ДЛЯ всех t £ Ед
[ (и(г,х) - щ{х))д(х)йх < (Л ||Уф(ж)||ь (1-Ю)

Осталось показать, что (1.10) выполнено для множества полной меры значений t, независящего от функции д(х) £ ИМ"). Для этого, используя сепарабельность ИМ”), выберем счетное всюду плотное множество 5 С И7]1 (К") . Тогда, ввиду счетности 3, множество Е = Ед имеет полную меру и, если £ £ Е, то (1.10) выполнено для всех д £ 5. Из плотности 51 в Ш (К.п) и непрерывности обеих частей оценки (1.10) по д £ ТКМ"), тогда следует, что (1.10) выполнено для всех д(х) £ Ю/фМ"). Лемма доказана.
Обозначим Вг — {х £ М" | х < г} - шар в М" радиуса г > 0 . Пусть при 1г > 0 (Зн{х) = /С"/?(х//г), где /3(х) £ С°(КП) - неотрицательная функция с носителем в единичном шаре В , |р11 (3{.х)(1х = 1. Очевидно, /Зн(х) > 0, зирр/Зж) С В/г и /9п (Зн{х)дх = 1.
Для у(х) £ Ь}ос(Ш.п) определим средние функции:
ьн(х) = У*/Зн(х) = [ у(х - у)(Зн(у)<1у аш.п
( * - ,как обычно, операция свертки ). Известно, что средние функции ьк(х) £ и при /г —> 0 ук(х) —> ь(х) в 2ф0С(Мп) и пото-
чечно на множестве точек Лебега функции и(х). Кроме того, если ь(х) £ Т°°(М"), то
|У«л(аг)| < / у(у)\7(Зн(х - у)(1у < ||г||о0||У/?,1||1 = сохЦгЦ/Л.
•7кп
Следующая лемма является ’’весовым” вариантом леммы 1 из [19]: Лемма 1.5. Пусть и(х) £ Ьсо(Шп), ш{К) = яир /Кп ь(х Т Ах) — у(х)р(х)<1х - модуль непрерывно-
ДжеЖ71 ,| Дж| сти функции и(х) в Т1(МП, р<1х) . Тогда
||г(ж)| — г;(ж)(signtl)/г(ж)| р(х)йх < 2щ(/г).